讓教學設計更符合學生的認知
摘要：數(shù)學教學難點之所以成為難點，一是由于學生的認知結構難以“容納”這一知識，二是由于教師的教學設計難以找到適當?shù)那腥朦c。新知識應該如何“修剪”得適合學生吸收，如何使學生“活動”起來，做適合
他的認知結構的活動。一、復雜方法簡約化；二、前后呼應流暢化；三、實際問題逐步數(shù)學化；四、形式理解溯源化；五、借助幾何意義動態(tài)化。
關鍵詞： 數(shù)學教學難點 認知 教學設計
我們在教學實踐、觀課活動或與同行的交流中，常有這樣的同感：課前對一些內容的教學設計在課堂上實施時，感到不自然，無法與學生產生共鳴，或自圓其說，或越俎代皰，或生拉硬扯。這些數(shù)學內容稱之為數(shù)學教學難點，數(shù)學教學難點之所以成為難點，一是由于學生的認知結構難以“容納”這一知識，二是由于教師的教學設計難以找到適當?shù)那腥朦c。
按照皮亞杰的觀點，對客體的認識是一個“同化”的過程，即如何把對象納入（整合）到已有的認識框架（認知結構）之中；也只有借助于同化過程，客體才獲得真正的意義。與此同時，認識框架本身也有一個不斷發(fā)展或建構的過程，特別是，在已有的認知結構無法“容納”新的對象的情況下，主體就必須對已有的認知結構進變革，以使其與客體相適應，這就是所謂的“順應”。
教學設計就是設計教學情境，幫助學生逐步將數(shù)學難點與頭腦中已有的數(shù)學知識和經驗聯(lián)系起來。教師的作用是為學生的參與創(chuàng)造適宜的挑戰(zhàn)環(huán)境，學生思維的發(fā)生和發(fā)展過程，去了解學生的數(shù)學結構，分析他的主觀感知有什么問題，新知識應該如何“修剪”得適合學生吸收，如何使學生“活動”起來，做適合他的認知結構的活動。
1、復雜方法簡約化
人的認識總是不斷在反思中發(fā)展、前進，思維不斷在清晰化——明朗化——簡約化的過程中得到提升。教學設計也應適時地“修剪”、重組教材（教學）中內容、方法，以適合學生吸收。
案例1、正弦定理的向量證法。
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C 
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B
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H
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A
教材用向量的知識證明正弦定理時，在三角形一個角的頂點作垂直于該角一邊的一個單位向量j。學生覺得單位向量j在三角形的外部，沒有與三角形的點或邊形成封閉的圖形，這與初中平面幾何的輔助線作法相差很大。再者，教材利用j•（+）=j•，再根據(jù)分配律將各向量轉化為單位向量j上的投影。此法與學生已有的經驗相去較遠，理解上費力費時。我們不妨簡化證法，利用學生已有的經驗，作某一邊上的高，各向量向高所在的向量投影，而不用單位向量。如：
C
B
H
A
作AH⊥BC于H，∠BAH=90º-B，∠CAH=90º-C，=||•||cos(90º-B)， =||•||cos(90º-C)，∴||•||cos(90º-B)=||•||cos(90º-C)，
∴||sinB=||sinC，∴csinB= bsinC，∴=
這樣，幫助學生“自我調節(jié)”，把平面幾何知識與平面向量知識整合在一起，內化為個體自身的思維模式。
2、前后呼應流暢化
在引入新對象前剛學的知識和經驗，對下續(xù)新對象的學習起著非常強的“暗示”作用，如果突然中斷，而轉入另一知識，學生會顯得不知所措。教學設計應順勢利導，產生共鳴。
案例2、等比數(shù)列前n項和公式的推導。
在等比數(shù)列前n項和公式的推導的教學中，大家除了介紹教材上的方法外，還介紹其他一些方法，但總覺得引入不自然。因為在學習了等比數(shù)列的定義后，推導等比數(shù)列前n項和公式，在方法上與以往的經驗不一樣，學生感到很突然。如果啟發(fā)學生聯(lián)系等比數(shù)列的定義，就容易得到：
=q ， =q ， =q ，…，=q…… ⑴。轉化為 a2=a1q，a3=a2q，a4=a3q，…，an=an-1q。各式左右分別相加，得 a2 + a3+ a4+…+ an =a1q+ a2q + a3q +…+ an-1q，即 a2 + a3+ a4+…+ an =（a1+ a2 + a3 +…+ an-1 ）q……⑵，往下容易得出：Sn-a1 =（Sn-an）q ， ∴（1-q）Sn=a1-an q，即（1-q）Sn=a1（1- qn），∴當q≠1時，Sn=。
當然，也可以引導學生對⑴式結合等比性質或對⑵式結合Sn= a1+ a2 + a3+ a4+…+ an的特征等方法，讓學生在“不知不覺”中發(fā)現(xiàn)和“創(chuàng)造”出各種方法。創(chuàng)設情境，營造交流的氛圍，幫助學生把新的問題“同化”到已有的認識框架（認知結構）之中，充分發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體作用，這是優(yōu)化教學設計的目標。
3、實際問題逐步數(shù)學化
現(xiàn)實世界自始自終貫穿在數(shù)學化之中，我們常把由現(xiàn)實世界直接形成數(shù)學概念的過程稱為“概念的”數(shù)學化，它往往隨著不同的認知水平而逐漸得到提高。觀察、比較與識別現(xiàn)實世界中的具體問題，并在類比、歸納的實際經歷過程中，建立數(shù)學模型，或是找出其共性與規(guī)律，形成數(shù)學的抽象與概括，也就是學會“數(shù)學化”。
案例3、數(shù)學歸納法原理。
常見的教學設計是以“多米諾骨牌效應”引入，這個“效應”對學生而言十分直觀明了，容易接受，但緊接著引出數(shù)學歸納法的兩個步驟，特別是第二步歸納假設用于證明的必要性學生不易理解，常常出現(xiàn)沒有利用歸納假設的“偽數(shù)學歸納法”。究其原因是從多米諾骨牌效應的“形象化”，未逐步“數(shù)學化”，而從直觀到抽象一步到位，學生無法從中提煉出數(shù)學本質。不妨經過簡單的“數(shù)學化”，提煉出數(shù)學本質，使學生的認知結構進行變革“順應”新的知識。具體步驟是：
第一步：形象化過程（多米諾骨牌效應的分析）：一列多米諾骨牌同時具備二個條件：⑴第一塊倒下；⑵假設某一塊倒下，可保證它后面的一塊也倒下。結論是什么？
第二步：簡單的數(shù)學化過程（讓學生將“多米諾骨牌”換成“偶數(shù)列”）：一個數(shù)列{an}同時具備二個條件：⑴第一個數(shù)是偶數(shù)；⑵假設某一個數(shù)是偶數(shù)，可證明它后面的一個數(shù)也是偶數(shù)。結論是：所有的數(shù)都是偶數(shù)。
第三步：理解數(shù)學本質（師生交流、生生交流）：議題：將數(shù)列問題中一個或二個條件中的“偶數(shù)”換成“奇數(shù)”，其結論有何變化？
4、形式理解溯源化
對形式的理解，首先是對本質的理解。很多時候要追溯到形式、概念的定義，以及定義的必要性和合理性。
案例4、反函數(shù)的表示法。
教材中寫道“在函數(shù)x=f —1（y）中，y表示自變量，x表示函數(shù)。但在習慣上，我們一般用x表示自變量，用y表示函數(shù)，為此我們常常對調函數(shù)x=f —1（y）中的字母x、y，把它改寫成y=f —1（x）” 。為什么要把x=f —1（y）改寫成y=f —1（x）？僅僅是因為“習慣”的原因？學生感到困惑，教師解釋時感到理由不夠充分。
我想，這要從反函數(shù)的定義以及作用來理解，x=f —1（y）與y=f（x）中，x的取值是相同的，y的取值也是相同的，因此在同一坐標系中的圖象是相同的，但表示的意義是不同的，因為自變量與函數(shù)的地位已經互換。為了使x=f —1（y）與y=f（x）在同一坐標系中有相同地位的量在同一坐標軸上，便于研究它們的相互關系，才“對調函數(shù)x=f —1（y）中的字母x、y，把它改寫成y=f —1（x）”，這樣一來，x軸就是自變量軸，y軸就是函數(shù)軸。我們可以把這一理解，設計成提問或問題進行交流，在“數(shù)學學習的共同體”中，使學生對數(shù)學形式和數(shù)學本質有一個“個體創(chuàng)造性的理解”的過程。通過學生自身主動的建構，使新的學習材料在學生頭腦中獲得特定的意義，這就是在新的數(shù)學材料與學生已有的數(shù)學知識和經驗之間建立實質性的、非任意的聯(lián)系，不斷完善學生個體的認知結構。
五、借助幾何意義動態(tài)化
對數(shù)學對象的認識是以頭腦中實際建構出這種對象為必要前提的，這種“建構”活動并非簡單地理解為如何在頭腦中機械地去重復有關對象的形式定義，而是必然包含有一個“具體化”（相對而言）的過程，也即如何把新的數(shù)學概念與已有的數(shù)學知識和經驗聯(lián)系起來，使之成為對學習主體而言是有意義的、可以理解的、十分直觀明了的，也即建立起適當?shù)摹靶睦肀碚鳌被颉靶睦硪饬x”。
案例5：奇偶性與周期性的應用
已知函數(shù)y=f（x）是最小正周期為2的偶函數(shù)，當x∈（0，1）時，f（x）=-lg3|x|+2，求：當x∈（1，2）時，f（x）的解析式。
這一類題目的解答通常是：∵當x∈（0，1）時，f（x）=-lg3|x|+2，∴當-1＜x＜0時，0＜-x＜1，又∵y=f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）= f（-x）=-lg3|-x|+2=-lg3|x|+2，當1＜x＜2時，-1＜x-2＜0，又∵y=f（x）是最小正周期為2的函數(shù)，∴f（x）= f（x-2）=-lg3|x-2|+2。
學生初次接觸此類題目感到很抽象，不知如何才能把兩個區(qū)間聯(lián)系起來，不清楚解答中x范圍不斷變化的目的。因此，在解答前可啟發(fā)學生做如下探索：將條件“當x∈(0，1)時，f（x）=-lg3|x|+2”改為“當x∈(0，1)時，f（x）=-x+2”，并作出圖象——(0，1)上的線段AB（如圖）。第一步：利用“偶函數(shù)”這一條件，關于y軸對稱得到線段(-1，0)上的AC，第二步：利用“最小正周期為2”這一條件，向右平移2個單位得到(1，2)上的線段BD，（當然也可以交換這二步的順序）。
根據(jù)這一動態(tài)順序可逐步理解兩個條件的作用以及x范圍不斷變化的目的，然后再根據(jù)偶函數(shù)與周期的定義，按動態(tài)順序寫出解答過程。在這里，偶函數(shù)與周期的幾何意義為解題建立起了適當?shù)摹靶睦肀碚鳌被颉靶睦硪饬x”，動態(tài)順序對解答過程中邏輯順序的理解起著重要的作用。
教學設計是將教學過程作有目的、有計劃的安排，使各要素盡量達到較優(yōu)的組合。這就要求教師不僅要系統(tǒng)地進行教學設計，而且還要進行多種多樣的設計；然后根據(jù)不同的學情進行對比和選擇，促進教學過程的優(yōu)化，并且把優(yōu)化教學過程理解為一個不斷發(fā)展的過程。
參考文獻：
唐瑞芬.數(shù)學教學理論選講.華東師范大學出版社.2001.1
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