動作是智慧的根源

——現(xiàn)代小學數學課堂教學的心理學依據
    一、引言
    近半個世紀以來，皮亞杰心理學影響著世界各國的中小學教學，尤其是中小學數學教學。皮亞杰指出：“ 動作是智慧的根源”，①任何靜態(tài)的數學概念都隱含著認知主體的內在動作，數學運算是一種廣義的動作。② 這些觀念為數學課堂教學所采納，目前小學數學普遍采取動手操作（或以直觀方式演示有關操作）的方法。
    然而，對于這些在教學實踐領域中早已被采用的觀念與方法，卻缺乏深入的研究，許多問題都停留在知其 然不知其所以然的層面——我們知道數學運算是一種廣義的動作；但它除了是一種動作之外，還存在哪些區(qū)別 于一般動作的規(guī)定性？同樣我們也知道“動作操作”會增進兒童的數學知識與智慧；但能否認為任意的動手操 作都有益于兒童智慧的發(fā)展？在數學課堂教學中如何指導兒童動手操作？
    本文試圖就以上問題作些探討，以期引起更深入的研究，并期望對進一步改進小學數學課堂教學有所裨益 。
    二、數學運算的內在規(guī)定性
    1.反身性 數學運算“甚至在其較高的表現(xiàn)中，也是正在采取行動與協(xié)調行動，不過是以一種內在的與反 省的形式進行的罷了……”③這里“反省”與反身、反思是同義的。
    皮亞杰將個體認知活動劃歸為兩類。一類是對客體的認識；另一類是對主體自身動作所進行的反思。前者 帶來關于客體的知識；后者帶來數理邏輯知識。
    ［實例］一個兒童擺弄10個石子，他可以掂一掂以了解其重量；可以摸一摸以了解其表面的光滑度�！爸� 量”與“光滑度”是關于對象（石子）本身的知識。此外，兒童還有另一類動作，他將10個石子排列成不同的 形狀，沿著不同的方向點數它們，其總數“10”總是不變的。這里，兒童將手指一一地（不重復也不遺漏）點 向10個石子，是具體動作；從這種具體動作中認識到總數“10”總是不變，則是一種反思，是反過來對自身的 具體動作進行思考。具體動作可以有很多種（可以從不同的石子開始，可以沿著不同的方向進行），但總數的 “10”卻是恒定的。只有通過反思，體會到這種“恒定”，兒童才真正學會了計數。
    這里我們看到兒童進行數學操作與運算離不開具體動作，但具體動作之后的反思比具體動作本身更為重要 。兒童能一一地點數石子，我們也能訓練一只小雞——地啄石子，但小雞不會了解“10”這個數，因為它沒有 反思。
    數學運算因其反身性，還呈現(xiàn)出一種層次性與相對性。高一級的運算是對低一級的運算所進行的反思、協(xié) 調與轉換。乘法是對加法的“運算”；乘方又是對乘法的“運算”。
    2.可逆性 “運算是一種可以逆行的行動，即它能向一個方向進行，也能向相反的方向進行。”④我們可 以把1和2相加得到3；反過來， 也可以用3減2而還原為1。任何一種運算，總有一個與之對應的逆運算。
    學生用減法驗算加法（或反過來用加法驗算減法），用除法驗算乘法（或反過來用乘法驗算除法），就是 因為這些運算是可以“逆行”的。對于“合”（加或乘）的結果，我們可以用“分”的動作（減或除）使其還 原到初始狀態(tài)。
    可逆性可以區(qū)分為兩類，一類是反演可逆（1＋2＝3，反過來3 －2＝1）；一類是互反可逆（6比2多4，反 過來2比6少4）。 前者表現(xiàn)為相反的操作；后者表現(xiàn)為次序的逆向轉換。
    3.結合性 運算“是可以繞道迂回的，通過兩種不同的方法可以獲得相同的結果”。⑤這就是所謂結合性 。具體到小學數學教學中，結合性體現(xiàn)在兩個方面。
    其一，體現(xiàn)在運算定律方面：3＋4＝4＋3（加法的交換律）；3 ×（4＋5）＝3×4＋3×5（乘法的分配律 ）。這里，每個等式兩邊是不同途徑的運算，但其運算結果卻是恒等的；其二，體現(xiàn)在問題解決的一題多解方 面。
    問題：男生和女生共植樹450棵，已知每個同學植樹5棵，有男生46人。問：女生多少人？
    對于這一問題可以先求出女生植樹多少棵，再除以5， 得出女生人數：（450－5×46）÷5＝44（人）；也 可以先求兩個班共有多少人，再減去男生46人，得出女生的人數：450÷5－46＝44（人）。兩種解法，具體途 徑不同，但結果一樣。
    至此，我們將可逆性與結合性綜合起來考察，則會發(fā)現(xiàn)數學運算總是隱含著某些“不變的因素”。反演可 逆是以相反的運算（如：以減法來驗算加法）使其還原為初始不變的狀態(tài)�；シ纯赡媸且环N相互轉換，6比2多 4，2比6少4，這里差集“4”是不變的。在運算規(guī)則里， 運算途徑改變了，但運算結果不變。在問題解決中， 具體解法可以各異，但答案是唯一（不變）的。
    我們說，數學運算是一種轉換。在這種轉換過程中，并非所有的東西都發(fā)生了改變，總是隱含著某種不變 的因素。正是“不變因素”的存在，才使轉換成為可能。
    4.結構性 結構性運算，就其現(xiàn)實的存在方式而言，“包括復雜的運算體系，而不是被看作先于這些體系 成分的那些孤立的運算�！雹迶祵W運算總是以結構化的整體的方式而存在。首先，每一種數學運算本身就是一 個結構化的動作。加法包括“合”的動作，也包括計其總數據的動作（這在學齡前兒童的實物操作中，可觀察 到；小學一年級兒童，因熟練而逐漸簡約化）；其次，各種運算聯(lián)合起來，又構成一個大的結構，加是“合” 的動作，減是“分”的動作；乘是加（或合）的簡便運算，除是減（或分）的簡便運算；加減互為逆運算，乘 除互為逆運算。這許多關系，使四則運算聯(lián)合成一個大的整體。
    三、課堂教學中，指導學生動手操作應注意的問題
    在明確了數學運算的內在規(guī)定性之后，我們將依照這些規(guī)定性，提出在課堂教學中指導兒童動手操作應注 意的問題。
    1.引起反省 從以上分析中我們了解到，數學運算是一種反思，具體動作之后的反思比具體動作更為重要 。具體到課堂教學中，我們在指導學生動作操作時，不應停留在為操作而操作的層面；而應引導學生對其操作 進行思索。以分數概念的教學為例，通常的教法是將分數的具體“操作”和盤托出、呈現(xiàn)給學生。如：將一個 餅平均分成兩塊，每塊是它的1／2。這樣的做法只能讓學生照葫蘆畫瓢一樣地模仿，而不能調動學生內部的思 考過程。
    一般而言，分數是小學生數概念的一次大的擴展。此前，兒童能用加減法層面的“差集”（6比2多4）或乘 除法層面的“倍數”（6是2的3倍）來表示二數比較關系。在倍數中，比較量一般大于（或等于）標準量；分數 的引進是要解決一個全新的問題：當比較量不足一個標準量時，如何表示二數關系。
    關于分數概念，這里設計了一種與通常的教法不同的方案，其宗旨在于引起學生思考。
    關于“分數概念”的課堂設計：
    準備：在黑板上用不同顏色的粉筆畫好三條長度不同的線段，準備一根60厘米長的木棒（無刻度），線段 長度分別是木棒的3倍、1倍、 1／3。
    木棒────
    白線：─────────── ────────白線長度是木棒長度的3倍
    紅線：──────── 紅線長度是木棒長度的1倍
    綠線：─ 綠線長度是木棒長度的？
    教師［演示］：用木棒分別量白線與紅線，并板述；然后量綠線，提問。
    教師：綠線長度是木棒長度的多少？
    學生：……沒有一棒長。
    教師：沒有“一棒”長，怎么表示？
    學生：（有的提出）拿刻度尺把木棒和綠線都量一量。
    教師：（量得綠線長20厘米，木棒長60厘米）那么，綠線長度是木棒長度的多少？
    60厘米
    學生：木棒是綠線的3倍。
    教師：這是我們以前學過的“倍數”；現(xiàn)在，我們反過來說：以木棒為標準，綠線是木棒的多少？
    ［演示］比著綠線將木棒3等分（用粉筆在木棒上畫刻度）
    ［繼續(xù)提問］現(xiàn)在想一想，怎樣表示“綠線是木棒的多少？”）
    ……
    導出：將木棒3等份，綠線是3份中的1份。
    進而導出：綠線是木棒的1／3。
    并將“倍數”與“分數”統(tǒng)一起來：都可表示兩個數的比較。
    這種方案較之于“和般托出”直接告訴學生的教法，更能調動學生積極的思考過程。也只有進行這樣的思 考，兒童才能真正明確分析所蘊含的內部操作。
    將有關“操作”和盤托出，不注重激起學生“反思”的教法，與兩種不恰當的觀念有關。其一是把數學運 算等同于具體動作；其二是認為內在運算是對外在動作的簡單模仿。其實，數學運算應該包括三個呈遞進關系 的成分：（1）具體操作；（2）對具體操作的反省與反思； （3）在反思過程中進行某種轉換或重組。
    轉換是對具體動作的轉換，重組是對原有的、已習得的操作的重組。兒童在接觸到分數之前，已學會了“ 比較”（一個數是另一個數據的幾倍）與“等分”（除法）�，F(xiàn)在面臨新的問題：比較量不足一個標準量。在 上述方案中，問題解決的過程，是學生積極思考的過程，也是重組原有“比較”與“等分”等內部操作而構成 分類操作的過程（分數的內部操作包括：比較二數；等分標準量等）。
    2.體會“必然” 在上一小節(jié)中，我們強調在讓學生動作操作的同時，應引導他們對具體動作進行反思， 并在反思過程中進行轉換與重組。但數學運算還具備可逆性與結合性的特征也就是說在轉換過程中，并非所有 的因素都發(fā)生改變，而總隱含著某種不變的因素。由于某些不變因素的存在，數學運算顯示出一種必然性。1＋ 2一定等于3；3×5 一定等于15；π＝3.1415…是圓周與直徑的比率，不是人為規(guī)定的；在兩個班共同植樹的實 例中，解法不同而得數是不變的。
    對數學運算的必然性的認識，往往是一種不自覺的“必然之感”。這種必然之感的獲得，是兒童形成數學 運算的標志。
    指導學生認識數學運算的必然性，可利用日常的實例。數學運算往往都有其現(xiàn)實原型，而且有些原型能明 晰地表征相應運算的涵義。如：教乘法口訣時，可讓學生數一數一面窗子的格數。如果豎著有4行， 每行5格， 那么就是5×4＝20格。 四五二十的口訣就存在于我們對這扇窗子的計數活動之中。它不是人為的任意編出的口 訣，而是“必然”的。
    3.融會貫通 數學運算是以結構的方式而存在的。結構化不是將不同的運算（或操作）簡單地拼湊成一個 整體，而是要消除各種運算（或操作）之間的“矛盾”、以達到相互協(xié)調。
    “關于‘分數概念’的課堂設計”將分數概念放在數概念的擴展（從倍數到分數的擴展）之中，具體設計 了一個問題情境：比較量不足一個標準量（此前，在“倍數”中，比較量總是大于或等于一個標準量），如何 表示二數關系。學生面對這一“矛盾”、積極思考。消解矛盾的過程，同時也是各種操作（倍數與分數）協(xié)調 、統(tǒng)一而融會貫通的過程。
    四、結語
    綜上，可以明確：（一）對小學生而言，數學運算既包括具體的動手操作，也包括對動手操作的思索。后 者比前者更為重要。（二）數學運算總是隱含著“不變的因素”，具體體現(xiàn)在逆向運算、 逆向轉換（6比2多4 ，那么2比6少4）、運算規(guī)則以及問題解決的一題多解等方面。（三）數學運算總是以結構化的方式而存在。
    在于數學運算的內在規(guī)定性，本文提出（一）課堂教學中，在指導學生動手操作（或演示有關操作）時， 應引起“反省”。小學兒童離不開具體動作的支持，但對具體動作的思索更為重要。（二）在指導學生動手操 作的過程中，讓學生體會到“必然”之感，必然之感的獲得，是數學運算形成的標志。（三）在動作操作過程 中，指導學生通過思考，將各種運算聯(lián)成整體，融會貫通。
    ①②⑤⑥皮亞杰：《智慧心理學》，中國社會科學出版社1992年版，第33頁；第18—19頁。第36頁；第42 頁。
    ③皮亞杰：《教育科學與兒童心理學》，教育文化出版社1981年版，第30頁。
    ④皮亞杰：《發(fā)生認識論》，《教育研究》，1979年第3期， 第91頁。 

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