在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力
隨著科學技術的發(fā)展和人類社會的進步，知識經(jīng)濟的時代已經(jīng)來臨，知識經(jīng)濟對創(chuàng)新能力提出了更高的要求�！陡咧袛�(shù)學課程標準》中明確提出“高中數(shù)學課程對于認識數(shù)學與自然界、數(shù)學與人類社會的關系，認識數(shù)學的科學價值、文化價值，提高提出問題、分析和解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識具有基礎性的作用”，“高中數(shù)學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識”。這就要求我們從課堂教學改革入手，探索進行創(chuàng)新教育的有效途徑。下面談談在數(shù)學教學活動中培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維能力的一些做法和體會：
一、設計知識的再創(chuàng)造過程，讓學生體驗發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造
教材中的概念、公式、定理是學生學習的重要內(nèi)容，對學生而言都是新的，但教師不必將各種規(guī)則、定律硬灌輸給學生，而是應該引導學生運用已有的經(jīng)驗、知識、方法去探索和發(fā)現(xiàn)，從而獲得新知，這對學生而言是一個知識的再創(chuàng)造的過程。在講誘導公式sin(180°+ )=-sin 時，湖南省冷水市漣邵二中劉利民老師沒有根據(jù)教材順序進行講解，而是設計了如下步驟：（１）用三角函數(shù)定義求sin60°、sin240°（教師強調在同一坐標系中求，為證明作鋪墊）；（２）由學生談感想并進行猜想。大部分學生得出兩種想法： sin240°=-sin60°、sin(180°+ )=-sin （ 為銳角）。再經(jīng)過思考，有學生進一步猜想：sin(180°+ )=-sin R；（３）引導學生驗證。教師設問提示：如何在同一坐標系中求sin 、sin(180°+ )呢？學生都在 終邊上取一點p(x , y)，設op=r，并順利找到180°+ 的終邊即 終邊的反向延長線。接著，有的學生在180°+ 的終邊上任取一點p′，借助相似三角形性質驗證；有的學生在180°+ 的終邊上任取一點p′，并使o p′=r，利用對稱性驗證。教師對學生的猜想和證明肯定后，要他們看教材進行比較，并展開討論，有的說：“單位圓是畫蛇添足”，有的說：“單位圓更簡單”。學生在對知識的探索和爭論中，獲得對發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的體驗。
二、創(chuàng)設情境，增強學生的創(chuàng)新意識
1、誘發(fā)好奇心理，培養(yǎng)學生的探索精神
教學中充分激發(fā)和利用學生的好奇心有利于提高課堂教學效果，而這樣的過程又能使學生的好奇心理得到進一步強化。如用現(xiàn)代教學手段增強新奇感（運用多媒體演示太空星球運動、運用幾何畫板演示動點軌跡），運用生活中的現(xiàn)象增強趣味性（用打橋牌時對牌的分布的可能性引入概率、用幾只彈簧稱演示向量的合成與分解），運用數(shù)學史料激發(fā)求知欲（用數(shù)學史上的三次危機引入無理數(shù)、用國際象棋發(fā)明者與印度國王的故事引入等比數(shù)列）。
在學生的好奇心被充分調動后，利用學生的好奇心和求知欲，給學生提供探索和發(fā)現(xiàn)的機會，鼓勵學生透過現(xiàn)象看本質，激發(fā)追根求源的探索精神。如講正弦定理時，不按照先推導公式再研究其應用的傳統(tǒng)模式進行，而是先給幾個具體問題讓學生研究。例如，已知a=3，b=4，B=60°，求A；已知a=3，A=30°，B=120°，求b等等。學生分別用構造直角三角形的方法解決了這些問題后，自然產(chǎn)生這樣的感覺：能否建立一個模式來統(tǒng)一解決呢？這樣既激發(fā)了學生的探索熱情，又使正弦定理的引入變得水到渠成。再如，講點到直線的距離公式時，學生自然地想到過P(x0，y0)作直線L：Ax+By+C=0的垂線，先求垂足Q的坐標，再求︱PQ︱。我沒有因其較繁而打斷學生的思路，而是讓他們繼續(xù)操作并加以解決。學生解決后自己也感到挺繁的，意識到應該尋找更簡捷的解決方法，探索性思維又一次展開了。教師適時給予指導：若點P在y軸上是否可以來得簡單一點？受此啟發(fā)，學生經(jīng)過一番研究，多種嶄新的方案出臺了。
2、培養(yǎng)化歸意識，鼓勵大膽猜想
歸納法是通過一些個別的、特殊的情況加以觀察、分析，從而得出一般結論的推理方法。以某些已知的事實和一定的經(jīng)驗為依據(jù)，對數(shù)學問題作出推測性的判斷即猜想�；瘹w意識的培養(yǎng)，不僅有助于實際問題的解決，而且有助于養(yǎng)成自覺地聯(lián)想、自覺地調整思維方式的鉆研精神和思考習慣。數(shù)學上的許多創(chuàng)造都是以猜想為前提的，著名的哥德巴赫猜想“任何一個大于２的偶數(shù)都可以表示成兩個素數(shù)之和”就是一個典型的例子。在講組合數(shù)的性質時，我先讓學生計算考察下列組合數(shù)：C 與C ，C 與C ，C 與C ，從而歸納猜想出組合數(shù)性質C =C ，最后再對該性質加以證明。在講等差數(shù)列的概念時，讓學生填空（１）1，4，7， ，13， ；（２）3，0， ，-6， ， 。引導學生將觀察與思維有機結合，分析與猜測同步進行。在平時的教學過程中，教師有意識地提出問題而不忙于解答，先讓學生猜想問題的答案，再運用所學數(shù)學知識進行解決、證明是發(fā)展學生想象力和洞察力的有效途徑。
3、選擇適當?shù)慕虒W內(nèi)容，指導學生進行研究性學習
教材中有些章節(jié)沒有新概念，具有基礎性和可遷移的特點，可以指導學生獨立研究學習：教師向學生提供探究的問題，讓學生自己探索得出結論。如在講正切函數(shù)的圖象和性質時，劉利民老師考慮到幾何法作函數(shù)圖象的局限性和描點分析函數(shù)性質作圖應用的廣泛性，因而微調教材內(nèi)容（幾何法改為描點法）：要求學生用描點法并分析函數(shù)性質作出y=tanx的草圖。學生獨立思索，約用了２５分鐘，有的同學作出了錯誤的圖象；有的同學作圖正確但對單調性的判定憑直覺；有的同學推理有據(jù)，作圖正確，頗有見地。在研究過程中，函數(shù)性質不教自明，下面是學生中一種比較典型的探索、研究過程：（１）令x=0， ， ， ，2 ，求tanx并描點；（自我啟示：①發(fā)現(xiàn)五點法作圖行不通，應描更多的點；② x k + ; ③ 意識到函數(shù)具有周期性，并由誘導公式推得周期為 ）；（２）令x= ， ， ，求tanx并描點；（自我啟示：①意識到y(tǒng)=tanx為奇函數(shù)并由誘導公式得證；②意識到函數(shù)在(- ， )遞增）；（３）作出正確的草圖。
三、提高思維品質，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力
1、一題多解，培養(yǎng)發(fā)散思維能力
對教材中例題、習題一題多解有利于調動學生思維的積極性和創(chuàng)造性。在解題教學中，不要片面追求學生的思路跟教材一致、跟教師一致，而要創(chuàng)設態(tài)度民主型、思維開放型的課堂。教材中例題一般只給出一種解法，但其中有不少題卻有多種解法，教師要在備課中盡量挖掘出來，在課堂上通過點拔、暗示體現(xiàn)出來，凡是學生有能力解決的，教師只作評價和總結。如在講例題：已知tan =- ，并且 是第三象限角，求 的其余三角函數(shù)值時，我要求學生自己尋找解題思路，學生先后找出四種思路：直接運用三角函數(shù)定義（幾何解法），分別運用同角三角函數(shù)基本關系式中的三個平方關系。而在講不等式證明題：已知0<a<1，0<b<1，求證 + + + 2 時，學生想到了分別用不等式、復數(shù)、解幾、平幾等有關知識進行證明。這樣既有利于學生系統(tǒng)掌握所學知識，又有利于培養(yǎng)學生思維的靈活性和廣闊性。
另外，數(shù)學學習中的一空多填、一式多變、一題多變、一題多問、多題一法；數(shù)學方法中的變量代換、幾何問題代數(shù)化與代數(shù)問題幾何化、幾何變換；數(shù)學解題中尋找簡便解法、反常規(guī)解法以及獨特解法的訓練等，都有助于發(fā)散思維能力的培養(yǎng)。
2、鼓勵質疑提問，培養(yǎng)思維的批判性
古人云“學貴有疑”，疑就是一種批判精神，思維的批判性是創(chuàng)造性思維的一個重要特征。學生的提問質疑不僅可以鍛煉其思維能力，而且在疑的基礎上讓學生探討問題的答案，還可以培養(yǎng)其學習的主動性。在講直線方程時，我曾經(jīng)出過這樣一道題讓學生思考：河岸（直線l方程：x+y-3=0）的同側有A(-1、1)、B(2、-3)兩地 ，若B地失火，某人從A地出發(fā)到河中提水去B地救火，問此人應如何走法速度最快？本來目的是考查學生直線方程的有關知識，多數(shù)學生也正是如此，先求點A關于直線L的對稱點A′，再求A′B方程，確定A′B與直線L的交點 。正當我頗為得意之際，有一個同學突然站了起來：“老師，這道題不好做，因為提水救火時空桶、滿桶速度不一樣”。粗一想以為學生是故意搗亂，不禁火苗直竄；細一想這位學生的話很有道理，學生考慮問題比我全面，正是學生的大膽質疑提醒了我原題出得不夠嚴密。對這位學生不但不應該批評，而且應該表揚、鼓勵。
3、發(fā)展直覺思維，培養(yǎng)對美的感悟能力
直覺思維是指人們不受邏輯規(guī)則約束直接領悟事物本質的一種思維方式。直覺思維能力可以通過多方聯(lián)想，學會從整體考察問題，注意挖掘事物內(nèi)部的本質聯(lián)系，借助對稱、和諧、簡單、統(tǒng)一、奇異、突變等數(shù)學美感，養(yǎng)成解題后進行反思的習慣等途徑加以培養(yǎng)。對數(shù)學美的追求和感悟，讓學生獨立地感受這些美及其思維功能，熏陶著創(chuàng)造的情思和意志，增強了創(chuàng)造美的能力。如教材中概率部分有一道題：邊長為n 的正方體由n3 個邊長為1的小正方體組成，問其中看不見的小正方體有多少個？看得見的小正方體有多少個？這道題可以有好幾種其它解法，但都較繁，而直覺思維能力強的同學卻可能會發(fā)現(xiàn)：從大正方體的頂面、前面、側面各剝?nèi)ヒ粚有≌襟w，剩下部分恰好就是看不見的小正方體。于是很快得出結論：看不見的小正方體有(n-1)3個，看得見的小正方體有n3-(n-1)3=3n2-3n+1個。而在講誘導公式時，我沒有直接講公式而是先讓學生猜想sin130°與sin50°、cos130°與cos50°的關系，然后再引導學生進行證明，后來一位原來沒有猜對正確答案的學生說：“本來我就應該知道的，130°與50°的角的終邊關于y軸對稱，它們之間應該有著特殊的關系……”。學生的話對我感觸很深，我們應該充分利用和發(fā)展學生對美的感悟能力啊！
學生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)還可以通過引入數(shù)學開放題、指導學生撰寫數(shù)學小論文、教師在教學過程中多一份耐心和寬容、允許學生嘗試乃至失敗等多種途徑加以培養(yǎng)。當然，創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)非一朝一夕之功，但只要我們在自己的教學實踐中不斷研究教學方法，不斷探索教改之路，就一定能使學生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力不斷提高。
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