初二數(shù)學(xué)精華一元一次不等式（組）（一）

一元一次不等式（組）（一）

　　一、全章教學(xué)內(nèi)容及要求
　�。�、理解不等式的概念和基本性質(zhì)
　�。�、會(huì)解一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示不等式的解集
　　３、會(huì)解一元一次不等式組，并能在數(shù)軸上表示不等式組的解集。

　　二、技能要求

　　1、會(huì)在數(shù)軸上表示不等式的解集。

　　2、會(huì)運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。

　　3、掌握一元一次不等式組的解法，會(huì)運(yùn)用數(shù)軸確定不等式組的解集。

　　三、重要的數(shù)學(xué)思想：

　　1、通過(guò)一元一次不等式解法的學(xué)習(xí)，領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

　　2、通過(guò)在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集與運(yùn)用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

　　四、主要數(shù)學(xué)能力

　　1、通過(guò)運(yùn)用不等式基本性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形訓(xùn)練，培養(yǎng)邏輯思維能力。

　　2、通過(guò)一元一次不等式解法的歸納及一元一次方程解法的類比，培養(yǎng)思維能力。

　　3、在一元一次不等式，一元一次不等式組解法的技能訓(xùn)練基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、分析、靈活運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)，尋求合理、簡(jiǎn)捷的解法，培養(yǎng)運(yùn)算能力。

　　五、類比思想：

　　把兩個(gè)（或兩類）不同的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們?cè)谀承┓矫嬗邢嗤�或類似之處，那么就推斷它們�(cè)谄渌�方面也可能有相同或類似之處。這種數(shù)學(xué)思想通常稱為“類比”，它體現(xiàn)了“不同事物之間存在內(nèi)部聯(lián)系”的唯物辯證觀點(diǎn)，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理和解題方法的重要手段之一，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的運(yùn)用。

　　在本章中，類比思想的突出運(yùn)用有：

　　1、不等式與等式的性質(zhì)類比。

　　對(duì)于等式（例如a=b）的性質(zhì)，我們比較熟悉。不等式（例如a>b或a
　　等式有兩個(gè)基本性質(zhì)：

　　1、等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，等號(hào)不變。（即兩邊仍然相等）。

　　2、等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等于0的數(shù)，符號(hào)不變（即兩邊仍然相等）。

　　按“類比”思想考慮問(wèn)題，自然會(huì)問(wèn)：不等式是否也具有這樣相類似的性質(zhì)，通過(guò)實(shí)例的反復(fù)檢驗(yàn)得到的回答是對(duì)的，即有。

　　不等式的性質(zhì)；1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變（即原來(lái)大的一邊仍然大，原來(lái)較小的一邊仍然較小）。2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變。3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變（即原來(lái)較大的一邊反而較小，原來(lái)較小的一邊反而較大）。

　　例如：-x>20, 兩邊都乘以-5，得，
　　x<-100，（變形根據(jù)是不等式基本性質(zhì)3）。
　　等式的基本性質(zhì)是等式變形的根據(jù)，與此類似，不等式的基本性質(zhì)是不等式變形的根據(jù)。

　　2、不等式的解與方程的解的類比

　　從形式上看，含有未知數(shù)的不等式與方程是類似的。按“類比”思想來(lái)考慮問(wèn)題，同樣可以仿效方程解的意義來(lái)理解不等式的解的意義。

　　例如：當(dāng)x=3時(shí)，方程x+4=7兩邊的值相等。x=3是方程x+4=7的解。而當(dāng)x=2時(shí)，方程x+4=7兩邊值不相等，x=2不是方程x+4=7的解。

　　類似地當(dāng)x=5不等式x+4>7成立，那么x=5是不等式x+4>7的一個(gè)解。若x=2不等式x+4>7不成立，那么x=2不是不等式x+4>7的解。

　　注意：1、不等式與方程的解的意義雖然非常類似，但它們的解的情況卻有重大的區(qū)別。一般地說(shuō)，一元方程只有一個(gè)或幾個(gè)解；而含有未知數(shù)的不等式，一般都有無(wú)數(shù)多個(gè)解。
　　
　　例如：x+6=5只有一個(gè)解x=-1，在數(shù)軸上表示出來(lái)只是一個(gè)點(diǎn)，如圖，

　　 而不等式x+6>5則有無(wú)數(shù)多個(gè)解-----大于-1的任何一個(gè)數(shù)都是它的解。它的解集是x>-1，在數(shù)軸上表示出來(lái)是一個(gè)區(qū)間，如圖　　　　　　


　　2、符號(hào)“≥”讀作“大于或等于”或也可以理解為“不小于”；符號(hào)“≤”讀作“小于或等于”或可以理解為“不大于”。

　　例如；在數(shù)軸上表示出下列各式：
　�。�1）x≥2　　　　　　�。�2）x<-2　　　　 （3）x>1　　 （4）x≤-1

解：
　　　　　x≥2 　　　　　　　x<-2　　　　　　　　x>1　 　　　x≤-1

　　3、不等式解法與方程的解法類比。

　　從形式上看，一元一次不等式與一元一次方程是類似的。在學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)利用等式的兩個(gè)基本性質(zhì)求得一元一次方程解，按“類比”思想考慮問(wèn)題自然會(huì)推斷出若用不等式的三條基本性質(zhì)，采用與解一元一次方程相類似的步驟去解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解集。

　　例如：解下列方程和不等式：
　　=+1　　　　　　　　　 　　　≥+1

　　解：3(2+x)=2(2x-1)+6　　1、去分母：　 解：3(2+x)≥2(2x-1)+6
　　6+3x=4x-2+6　　　　　　　2、去括號(hào)：　　 　　6+3x≥4x-2+6
　　3x-4x=-2+6-6 　　　　　　3、移項(xiàng)：　　　 　 3x-4x≥-2+6-6
　　-x=-2　　　 　　　　　　　4、合并同類項(xiàng)：　　 　-x≥-2
　　x=2　　　　　 　　　　　　5、系數(shù)化為1：　　 　　x≤2
　 ∴ x=2是原方程的解　　　　　　 　　　　　∴ x≤2是原不等式的解集。

　　　　　　　　　

　　注意：解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟雖然完全相同，但是要注意步驟1和5，如果乘數(shù)或除數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，解不等式時(shí)要改變不等號(hào)的方向。

　　六、帶有附加條件的不等式：

　　例1，求不等式(3x+4)-3≤7的最大整數(shù)解。

　　分析：此題是帶有附加條件的不等式，這時(shí)應(yīng)先求不等式的解集，再在解集中，找出滿足附加條件的解。

　　解： (3x+4)-3≤7　　　
　　去分母： 3x+4-6≤14　　　
　　移項(xiàng)：　　 　3x≤14-4+6　　　　
　　合并同類項(xiàng)： 3x≤16
　　系數(shù)化為1：　 x≤5
　　∴ x≤5的最大整數(shù)解為x=5

　　例2，x取哪些正整數(shù)時(shí)，代數(shù)式3-的值不小于代數(shù)式的值？

　　解：依題意需求不等式3-≥的解集。
　　解這個(gè)不等式：
　　去分母：24-2(x-1)≥3(x+2)
　　去括號(hào)： 24-2x+2≥3x+6
　　移項(xiàng)：　　 -2x-3x≥6-24-2
　　合并同類項(xiàng)：　-5x≥-20
　　系數(shù)化為1：　　 x≤4
　　∴ x=4的正整數(shù)為x=1, 2, 3, 4.

　　答：當(dāng)x取1, 2, 3, 4時(shí)，代數(shù)式3-的值不小于代數(shù)式的值。
　　例3，當(dāng)k取何值時(shí)，方程x-2k=3(x-k)+1的解為負(fù)數(shù)。

　　分析：應(yīng)先解關(guān)于x的字母系數(shù)方程，即找到x的表達(dá)式，再解帶有附加條件的不等式。

　　解：解關(guān)于x的方程：x-2k=3(x-k)+1
　　去分母：　　　 x-4k=6(x-k)+2
　　去括號(hào)：　　　 x-4k=6x-6k+2
　　移項(xiàng)：　　　 　x-6x=-6k+2+4k
　　合并同類項(xiàng)：　　　　 -5x=2-2k
　　系數(shù)化為1：　　　　　x==.
　　要使x為負(fù)數(shù)，即x=<0，
　　∵ 分母>0，∴ 2k-2<0, ∴ k<1，
　　∴ 當(dāng)k<1時(shí)，方程x-2k=3(x-k)+1的解是負(fù)數(shù)。

　　例4，若|3x-6|+(2x-y-m)²=0，求m為何值時(shí)y為正數(shù)。

　　分析：目前我們學(xué)習(xí)過(guò)的兩個(gè)非負(fù)數(shù)問(wèn)題，一個(gè)是絕對(duì)值為非負(fù)數(shù)，另一個(gè)是完全平方數(shù)是非負(fù)數(shù)。由非負(fù)數(shù)的概念可知，兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則這兩個(gè)非負(fù)數(shù)只能為零。由這個(gè)性質(zhì)此題可轉(zhuǎn)化為方程組來(lái)解。由此求出y的表達(dá)式再解關(guān)于m的不等式。

　　解：∵ |3x-6|+(2x-y-m)²=0,
　　∴ ∴
　　解方程組得　
　　要使y為正數(shù)，即4-m>0, ∴ m<4.
　　∴ 當(dāng)m<4時(shí)，y為正數(shù)。

　　注意：要明確“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“不超過(guò)”、“至多”、“至少”、“非負(fù)數(shù)”、“正數(shù)”、“負(fù)數(shù)”、“負(fù)整數(shù)”……這些描述不等關(guān)系的語(yǔ)言所對(duì)應(yīng)的不等號(hào)各是什么。求帶有附加條件的不等式時(shí)需要先求這個(gè)不等式的所有的解，即這個(gè)不等式的解集，然后再?gòu)闹泻Y選出符合要求的解。

　　七、字母系數(shù)的不等式：

　　例：解關(guān)于x的不等式3(a+1)x+3a≥2ax+3

　　分析：由于x是未知數(shù)，所以應(yīng)把a(bǔ)看作已知數(shù)，又由于a可以是任意有理數(shù)，所以在應(yīng)用同解原理時(shí)，要區(qū)別情況，進(jìn)行分類討論。

　　解：移項(xiàng)，得3(a+1)x-2ax≥3-3a
　　合并同類項(xiàng)：　　 (a+3)x≥3-3a
　　(1)當(dāng)a+3>0，即a>-3時(shí)，x≥,
　　(2)當(dāng)a+3=0，即a=-3時(shí)，0x≥12，不等式無(wú)解。
　　(3)當(dāng)a+3<0，即a<-3時(shí)，x≤。

　　注意：在處理字母系數(shù)的不等式時(shí)，首先要弄清哪一個(gè)字母是未知數(shù)，而把其他字母看作已知數(shù)，在運(yùn)用同解原理把未知數(shù)的系數(shù)化為1時(shí)，應(yīng)作合理的分類，逐一討論，例題中只有分為a+3>0, a+3=0, a+3<0, 三種情況進(jìn)行研究，才有完整地解出不等式，這種處理問(wèn)題的方法叫做“分類討論”。

　　八、有關(guān)大小比較的問(wèn)題

　　例1．根據(jù)給定條件，分別求出a的取值范圍。

　　（1）若a²>a，則a的取值范圍是____________；

　�。�2）若a>, 則a的取值范圍是____________。

　　解：（1）∵ a²>a,
　　∴ a²－a>0, 即a(a－1)>0,
　　∴ 或
　　解得a>1或a<0。

　　答：a的取值范圍是a<0或a>1。

　　（2）∵ a>,∴ a－>0, 即>0.
　　∴ 或
　　或
　　解得a>1或－1
　　答：a的取值范圍是－11.

　　例2．（1）比較下列各組數(shù)的大小，找規(guī)律，提出你的猜想：
　　______; _______; ______;
　　______; _______; _____.

　　從上面的各式發(fā)現(xiàn)：一個(gè)正分?jǐn)?shù)的分子和分母_____________，所得分?jǐn)?shù)的值比原分?jǐn)?shù)的值要_________。

　　猜想：設(shè)a>b>0, m>0, 則_______。

　�。�2）試證明你的猜想：

　　分析：1.易知：前面的各個(gè)空都填　 “< ”.　

　　一個(gè)正分?jǐn)?shù)的分子和分母都加上同一個(gè)正數(shù)，所得分?jǐn)?shù)的值比原分?jǐn)?shù)的值要大。

　　2.欲證<，只要證－<0.
　　即證 <0,
　　即證 <0,
　　證明：∵ a>b>0, b－a<0,
　　又∵ m>0, ∴ m(b－a)<0,
　　∵ －=
　　==<0,
　　∴ <。

　　上面這個(gè)不等式有很多有意義的應(yīng)用。

　　例如，建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好。若同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件變好了。

　　設(shè)窗戶面積為a，地板面積為b，若同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積m，由<可知，住宅的采光條件變好了。

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