數(shù)學函數(shù)的教案

　　作為一名為他人授業(yè)解惑的教育工作者，通常需要準備好一份教案，編寫教案有利于我們弄通教材內(nèi)容，進而選擇科學、恰當?shù)慕虒W方法。那么教案應該怎么寫才合適呢？下面是小編精心整理的數(shù)學函數(shù)的教案 ，僅供參考，歡迎大家閱讀。

數(shù)學函數(shù)的教案 1

　　教學目標：

　　1、經(jīng)歷用數(shù)格子的辦法探索勾股定理的過程，進一步發(fā)展學生的合情推力意識，主動探究的習慣，進一步體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系。

　　2、探索并理解直角三角形的三邊之間的數(shù)量關系，進一步發(fā)展學生的說理和簡單的推理的意識及能力。

　　重點難點：

　　重點：了解勾股定理的由來，并能用它來解決一些簡單的問題。

　　難點：勾股定理的發(fā)現(xiàn)

　　教學過程

　　一、創(chuàng)設問題的情境，激發(fā)學生的學習熱情，導入課題

　　出示投影1(章前的圖文p1)教師道白：介紹我國古代在勾股定理研究方面的貢獻，并結(jié)合課本p5談一談，講述我國是最早了解勾股定理的.國家之一，介紹商高(三千多年前周期的數(shù)學家)在勾股定理方面的貢獻。

　　出示投影2(書中的P2圖1—2)并回答：

　　1、觀察圖1-2，正方形A中有_______個小方格，即A的面積為______個單位。

　　正方形B中有_______個小方格，即A的面積為______個單位。

　　正方形C中有_______個小方格，即A的面積為______個單位。

　　2、你是怎樣得出上面的結(jié)果的?在學生交流回答的基礎上教師直接發(fā)問：

　　3、圖1—2中，A,B,C之間的面積之間有什么關系?

　　學生交流后形成共識，教師板書，A+B=C，接著提出圖1—1中的A.B,C的關系呢?

　　二、做一做

　　出示投影3(書中P3圖1—4)提問：

　　1、圖1—3中，A,B,C之間有什么關系?

　　2、圖1—4中，A,B,C之間有什么關系?

　　3、從圖1—1，1—2，1—3，1|—4中你發(fā)現(xiàn)什么?

　　學生討論、交流形成共識后，教師總結(jié)：

　　以三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和，等于以斜邊的正方形面積。

　　三、議一議

　　1、圖1—1、1—2、1—3、1—4中，你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎?

　　2、你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間的關系嗎?

　　在同學的交流基礎上，老師板書：

　　直角三角形邊的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是的“勾股定理”

　　也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c

　　那么

　　我國古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長的為股，斜邊為弦，這就是勾股定理的由來。

　　3、分別以5厘米和12厘米為直角邊做出一個直角三角形，并測量斜邊的長度(學生測量后回答斜邊長為13)請大家想一想(2)中的規(guī)律，對這個三角形仍然成立嗎?(回答是肯定的：成立)

　　四、想一想

　　這里的29英寸(74厘米)的電視機，指的是屏幕的長嗎?只的是屏幕的款嗎?那他指什么呢?

　　五、鞏固練習

　　1、錯例辨析：

　　△ABC的兩邊為3和4，求第三邊

　　解：由于三角形的兩邊為3、4

　　所以它的第三邊的c應滿足=25

　　即：c=5

　　辨析：(1)要用勾股定理解題，首先應具備直角三角形這個必不可少的條件，可本題

　　△ABC并未說明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就沒有依據(jù)。

　　(2)若告訴△ABC是直角三角形，第三邊C也不一定是滿足，題目中并為交待C是斜邊

　　綜上所述這個題目條件不足，第三邊無法求得。

　　2、練習P7§1.11

　　六、作業(yè)

　　課本P7§1.12、3、4

數(shù)學函數(shù)的教案 2

　　二次函數(shù)的教學設計

　　教學內(nèi)容：人教版九年義務教育初中第三冊第108頁

　　教學目標：

　　1。 1。 理解二次函數(shù)的意義；會用描點法畫出函數(shù)y=ax2的圖象，知道拋物線的有關概念；

　　2。 2。 通過變式教學，培養(yǎng)學生思維的敏捷性、廣闊性、深刻性；

　　3。 3。 通過二次函數(shù)的教學讓學生進一步體會研究函數(shù)的一般方法；加深對于數(shù)形結(jié)合思想認識。

　　教學重點：二次函數(shù)的意義；會畫二次函數(shù)圖象。

　　教學難點：描點法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象，數(shù)與形相互聯(lián)系。

　　教學過程設計：

　　一 創(chuàng)設情景、建模引入

　　我們已學習了正比例函數(shù)及一次函數(shù)，現(xiàn)在來看看下面幾個例子：

　　1。寫出圓的半徑是R（CM），它的面積S（CM2）與R的關系式

　　答：S=πR2。 ①

　　2。寫出用總長為60M的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S（M2）與矩形一邊長L（M）之間的關系

　　答：S=L（30-L）=30L-L2 ②

　　分析：①②兩個關系式中S與R、L之間是否存在函數(shù)關系？

　　S是否是R、L的一次函數(shù)？

　　由于①②兩個關系式中S不是R、L的一次函數(shù)，那么S是R、L的什么函數(shù)呢？這樣的函數(shù)大家能不能猜想一下它叫什么函數(shù)呢？

　　答：二次函數(shù)。

　　這一節(jié)課我們將研究二次函數(shù)的有關知識。（板書課題）

　　二 歸納抽象、形成概念

　　一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0) ，

　　那么，y叫做x的二次函數(shù)。

　　注意：(1)必須a≠0，否則就不是二次函數(shù)了。而b，c兩數(shù)可以是零。(2) 由于二次函數(shù)的解析式是整式的形式，所以x的取值范圍是任意實數(shù)。

　　練習：1。舉例子：請同學舉一些二次函數(shù)的例子，全班同學判斷是否正確。

　　2。出難題：請同學給大家出示一個函數(shù)，請同學判斷是否是二次函數(shù)。

　�。ㄈ魧W生考慮不全，教師給予補充。如：；；； 的形式。）

　�。ㄍㄟ^學生觀察、歸納定義加深對概念的理解，既培養(yǎng)了學生的實踐能力，有培養(yǎng)了學生的探究精神。并通過開放性的練習培養(yǎng)學生思維的`發(fā)散性、開放性。題目用了一些人性化的詞語，也增添了課堂的趣味性。）

　　由前面一次函數(shù)的學習，我們已經(jīng)知道研究函數(shù)一般應按照定義、圖象、性質(zhì)、求解析式幾個方面進行研究。二次函數(shù)我們也會按照定義、圖象、性質(zhì)、求解析式幾個方面進行研究。

　�。ㄔ谶@里指出學習函數(shù)的一般方法，旨在及時進行學法指導；并將此方法形成技能，以指導今后的學習；進一步培養(yǎng)終身學習的能力。）

　　三 嘗試模仿、鞏固提高

　　讓我們先從最簡單的二次函數(shù)y=ax2入手展開研究

　　1。 1。 嘗試：大家知道一次函數(shù)的圖象是一條直線，那么二次函數(shù)的圖象是什么呢？

　　請同學們畫出函數(shù)y=x2的圖象。

　�。▽W生分別畫圖，教師巡視了解情況。）

　　2。 2。 模仿鞏固：教師將了解到的各種不同圖象用實物投影向大家展示，到底哪一個對呢？下面師生共同畫出函數(shù)y=x2的圖象。

　　解：一、列表：

　　二、描點、連線： 按照表格，描出各點。然后用光滑的曲線，按照x(點的橫坐標)由小到大的順序把各點連結(jié)起來。

　　對照教師畫的圖象一一分析學生所畫圖象的正誤及原因，從而得到畫二次函數(shù)圖象的幾點注意。

　　練習：畫出函數(shù);的圖象（請兩個同學板演）

　　畫好之后教師根據(jù)情況講評，并引導學生觀察圖象形狀得出：二次函數(shù) y=ax2的圖象是一條拋物線。

　�。ㄟ@里，教師在學生自己探索嘗試的基礎上，示范畫圖象的方法和過程，希望學生學會畫圖象的方法；并及時安排練習鞏固剛剛學到的新知識，通過觀察，感悟拋物線名稱的由來。）

　　三 運用新知、變式探究

　　畫出函數(shù) y=5x2圖象

　　學生在畫圖象的過程當中遇到函數(shù)值較大的困難，不知如何是好。

　　教師出示已畫好的圖象讓學生觀察

　　注意：1。 畫圖象應描7個左右的點，描的點越多圖象越準確。

　　2。 自變量X的取值應注意關于Y軸對稱。

　　3。 對于不同的二次函數(shù)自變量X的取值應更加靈活，例如可以取分數(shù)。

　　四。 四。 歸納小結(jié)、延續(xù)探究

　　教師引導學生觀察表格及圖象，歸納y=ax2的性質(zhì)，學生們暢所欲言，各抒己見；互相改進，互相完善。最終得到如下性質(zhì)：

　　一般的，二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條拋物線，對稱軸是Y軸，頂點是坐標原點；當a＞0時，圖象的開口向上，最低點為(0，0)；當a＜0時，圖象的開口向下，最高點為(0，0)。

　　五 回顧反思、總結(jié)收獲

　　在這一環(huán)節(jié)中，教師請同學們回顧一節(jié)課的學習暢談自己的收獲或多、或少、或幾點、或全面，總之是人人有所得，個個有提高。這也正是新課標中所倡導的新的理念——不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。

　　（在整個一節(jié)課上，基本上是學生講為主，教師講為輔。一些較為困難的問題，我也鼓勵學生大膽思考，積極嘗試，不怕困難，一個人完不成，講不透，第二個人、第三個人補充，直到完成整個例題。這樣上課氣氛非�；钴S，學生之間常會因為某個觀點的不同而爭論，這就給教師提出了更高的要求，一方面要控制好整節(jié)課的節(jié)奏，另一方面又要察言觀色，適時地對某些觀點作出判斷，或與學生一同討論。）

數(shù)學函數(shù)的教案 3

　　一、教學目的

　　1．使學生初步理解二次函數(shù)的概念。

　　2．使學生會用描點法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象。

　　3．使學生結(jié)合y=ax2的圖象初步理解拋物線及其有關的概念。

　　二、教學重點、難點

　　重點：對二次函數(shù)概念的初步理解。

　　難點：會用描點法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象。

　　三、教學過程

　　復習提問

　　1．在下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？

　�。�1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x—5；（4）y=x2 — 2。

　　2．什么是一無二次方程？

　　3．怎樣用找點法畫函數(shù)的圖象？

　　新課

　　1．由具體問題引出二次函數(shù)的定義。

　�。�1）已知圓的面積是Scm2，圓的半徑是Rcm，寫出空上圓的面積S與半徑R之間的函數(shù)關系式。

　　（2）已知一個矩形的周長是60m，一邊長是Lm，寫出這個矩形的面積S（m2）與這個矩形的一邊長L之間的函數(shù)關系式。

　　（3）農(nóng)機廠第一個月水泵的產(chǎn)量為50臺，第三個月的'產(chǎn)量y（臺）與月平均增長率x之間的函數(shù)關系如何表示？

　　解：（1）函數(shù)解析式是S=πR2；

　�。�2）函數(shù)析式是S=30L—L2；

　�。�3）函數(shù)解析式是y=50（1+x）2，即

　　y=50x2+100x+50。

　　由以上三例啟發(fā)學生歸納出：

　�。�1）函數(shù)解析式均為整式；

　　（2）處變量的最高次數(shù)是2。

　　我們說三個式子都表示的是二次函數(shù)。

　　一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c沒有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù)，請注意這里b，c沒有限制，而a≠0。

　　2．畫二次函數(shù)y=x2的圖象。

數(shù)學函數(shù)的教案 4

　　教學目標:

　　1.使學生應用由定義求導數(shù)的三個步驟推導四種常見函數(shù)的導數(shù)公式;

　　2.掌握并能運用這四個公式正確求函數(shù)的導數(shù).

　　教學重點:四種常見函數(shù)的導數(shù)公式及應用

　　教學難點: 四種常見函數(shù)的導數(shù)公式

　　教學過程:

　　一.創(chuàng)設情景

　　我們知道,導數(shù)的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率,物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度.那么,對于函數(shù) ,如何求它的導數(shù)呢?

　　由導數(shù)定義本身,給出了求導數(shù)的最基本的方法,但由于導數(shù)是用極限來定義的,所以求導數(shù)總是歸結(jié)到求極限這在運算上很麻煩,有時甚至很困難,為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導數(shù),這一單元我們將研究比較簡捷的求導數(shù)的方法,下面我們求幾個常用的函數(shù)的導數(shù).

　　二.新課講授

　　1.函數(shù) 的導數(shù)

　　根據(jù)導數(shù)定義,因為

　　所以

　　函數(shù) 導數(shù)

　　表示函數(shù) 圖像(圖3.2-1)上每一點處的切線的斜率都為0.若 表示路程關于時間的`函數(shù),則 可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0,即物體一直處于靜止狀態(tài).

　　2.函數(shù) 的導數(shù)

　　因為

　　所以

　　函數(shù) 導數(shù) 表示函數(shù) 圖像(圖3.2-2)上每一點處的切線的斜率都為1.若 表示路程關于時間的函數(shù),則 可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動.

　　3.函數(shù) 的導數(shù)

　　因為

　　所以

　　函數(shù) 導數(shù)

　　表示函數(shù) 圖像(圖3.2-3)上點 處的切線的斜率都為 ,說明隨著 的變化,切線的斜率也在變化.另一方面,從導數(shù)作為函數(shù)在一點的瞬時變化率來看,表明:當 時,隨著 的增加,函數(shù) 減少得越來越慢;當 時,隨著 的增加,函數(shù) 增加得越來越快.若 表示路程關于時間的函數(shù),則 可以解釋為某物體做變速運動,它在時刻 的瞬時速度為 .

　　4.函數(shù) 的導數(shù)

　　因為

　　所以

　　函數(shù) 導數(shù) (2)推廣:若 ,則

　　三.課堂練習

　　1.課本P13探究1

　　2.課本P13探究2

　　4.求函數(shù) 的導數(shù)

　　四.回顧總結(jié)

　　函數(shù) 導數(shù)

　　五.布置作業(yè)

數(shù)學函數(shù)的教案 5

　　教材分析:

　　“指數(shù)函數(shù)”是在學生系統(tǒng)地學習了函數(shù)概念及性質(zhì)，掌握了指數(shù)與指數(shù)冪的運算性質(zhì)的基礎上展開研究的．作為重要的基本初等函數(shù)之一，指數(shù)函數(shù)既是函數(shù)近代定義及性質(zhì)的第一次應用，也為今后研究其他函數(shù)提供了方法和模式，為后續(xù)的學習奠定基礎．指數(shù)函數(shù)在知識體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應用，因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材，所以指數(shù)函數(shù)應重點研究．

　　學情分析:

　　通過初中階段的學習和高中對函數(shù)、指數(shù)的運算等知識的系統(tǒng)學習，學生對函數(shù)已經(jīng)有了一定的認識，學生對用“描點法”描繪出函數(shù)圖象的方法已基本掌握，已初步了解數(shù)形結(jié)合的思想．另外，學生對由特殊到一般再到特殊的數(shù)學活動過程已有一定的體會．

　　教學目標：

　　知識與技能：理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能正確作出其圖象，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并能自覺、靈活地應用其性質(zhì)（單調(diào)性、中介值）比較大�。�

　　過程與方法：

　　(1) 體會從特殊到一般再到特殊的研究問題的方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、猜想、概括的能力，讓學生了解數(shù)學來源于生活又在生活中有廣泛的應用；理解并掌握探求函數(shù)性質(zhì)的一般方法；

　　(2) 從數(shù)和形兩方面理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學思想方法，提高思維的靈活性，培養(yǎng)學生直觀、嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)．

　　情感、態(tài)度與價值觀：

　　(1)體驗從特殊到一般再到特殊的學習規(guī)律，認識事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學生用聯(lián)系的觀點看問題，激發(fā)學生自主探究的精神，在探究過程中體驗合作學習的樂趣；

　　(2)讓學生在數(shù)形結(jié)合中感悟數(shù)學的統(tǒng)一美、和諧美，進一步培養(yǎng)學生的學習興趣．

　　教學重點：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

　　教學難點：指數(shù)函數(shù)概念的引入及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應用

　　教法研究:

　　本節(jié)課準備由實際問題引入指數(shù)函數(shù)的概念，這樣可以讓學生知道指數(shù)函數(shù)的概念來源于客觀實際，便于學生接受并有利于培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識.

　　利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質(zhì)是函數(shù)中的一個非常重要的思想，本節(jié)課將是利用特殊的指數(shù)函數(shù)圖象歸納總結(jié)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，這樣便于學生研究其變化規(guī)律，理解其性質(zhì)并掌握一般地探求函數(shù)性質(zhì)的方法 同時運用現(xiàn)代信息技術學習、探索和解決問題，幫助學生理解新知識

　　本節(jié)課使用的教學方法有：直觀教學法、啟發(fā)引導法、發(fā)現(xiàn)法

　　教學過程：

　　一、問題情境 ：

　　問題1：某種細胞分裂時，由一個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，以此類推，一個這樣的細胞分裂x次后，得到的細胞個數(shù)y與x的函數(shù)關系式是什么？

　　問題2：一種放射性物質(zhì)不斷變化為其它物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩余質(zhì)量約是原來的 ，設該物質(zhì)的初始質(zhì)量為1，經(jīng)過 年后的剩余質(zhì)量為 ，你能寫出 之間的函數(shù)關系式嗎？

　　分析可知，函數(shù)的關系式分別是 與

　　問題3：在問題1和2中，兩個函數(shù)的自變量都是正整數(shù)，但在實際問題中自變量不一定都是正整數(shù)，比如在問題2中，我們除了關心1年、2年、3年后該物質(zhì)的剩余量外，還想知道3個月、一年半后該物質(zhì)的剩余量，怎么辦？

　　這就需要對函數(shù)的定義域進行擴充，結(jié)合指數(shù)概念的的擴充，我們也可以將函數(shù)的定義域擴充至全體實數(shù)，這樣就得到了一個新的函數(shù)——指數(shù)函數(shù)．

　　二、數(shù)學建構(gòu) ：

　　1]定義：

　　一般地，函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù)，其中 ．

　　問題4：為什么規(guī)定 ？

　　問題5：你能舉出指數(shù)函數(shù)的例子嗎？

　　閱讀材料（“放射性碳法”測定古物的年代）：

　　在動植物體內(nèi)均含有微量的放射性 ，動植物死亡后，停止了新陳代謝， 不在產(chǎn)生，且原有的 會自動衰變.經(jīng)過5740年（ 的'半衰期），它的殘余量為原來的一半.經(jīng)過科學測定，若 的原始含量為1，則經(jīng)過x年后的殘留量為 = .

　　這種方法經(jīng)常用來推算古物的年代.

　　練習1：判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)．

　�。�1） （2）

　�。�3） （4）

　　說明：指數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)= 中， 的系數(shù)是1.

　　有些函數(shù)貌似指數(shù)函數(shù)，實際上卻不是，如y= +k (a>0且a 1，k Z)；

　　有些函數(shù)看起來不像指數(shù)函數(shù)，實際上卻是，如y= (a>0,且a 1)，因為它可以化為y= ，其中 >0，且 1

　　2]通過圖象探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其簡單應用：利用幾何畫板及其他多媒體軟件和學生一起完成

　　問題6:我們研究函數(shù)的性質(zhì)，通常都研究哪些性質(zhì)？一般如何去研究？

　　函數(shù)的定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性等；

　　利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

　　問題7:作函數(shù)圖象的一般步驟是什么？

　　列表，描點，作圖

　　探究活動1:用列表描點法作出 ， 的圖像（借助幾何畫板演示），觀察、比較這兩個函數(shù)的圖像，我們可以得到這兩個函數(shù)哪些共同的性質(zhì)？請同學們仔細觀察.

　　引導學生分析圖象并總結(jié)此時指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（底數(shù)大于1）：

　　（1）定義域？R

　�。�2）值域？函數(shù)的值域為

　　（3）過哪個定點？恒過 點，即

　�。�4）單調(diào)性？ 時， 為 上的增函數(shù)

　　（5）何時函數(shù)值大于1？小于1？ 當 時， ；當 時，

　　問題8:：是否所有的指數(shù)函數(shù)都是這樣的性質(zhì)？你能找出與剛才的函數(shù)性質(zhì)不一樣的指數(shù)函數(shù)嗎？

　�。ㄒ龑�學生自我分析和反思，培養(yǎng)學生的反思能力和解決問題的能力）.

　　根據(jù)學生的發(fā)現(xiàn)，再總結(jié)當?shù)讛?shù)小于1時指數(shù)函數(shù)的相關性質(zhì)并作比較.

　　問題9:到現(xiàn)在，你能自制一份表格，比較 及 兩種不同情況下 的圖象和性質(zhì)嗎？

　�。▽W生完成表格的設計，教師適當引導）

數(shù)學函數(shù)的教案 6

　　【教學目標：】

　　1．通過對初中銳角三角函數(shù)定義的回憶，掌握任意角三角函數(shù)的定義法，并掌握用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)值．

　　2．掌握已知角 終邊上一點坐標，求四個三角函數(shù)值．（即給角求值問題）

　　【教學重點：】

　　任意角的三角函數(shù)的定義．

　　【教學難點：】

　　任意角的三角函數(shù)的定義，正弦、余弦、正切這三種三角函數(shù)的幾何表示．

　　【教學用具：】

　　直尺、圓規(guī)、投影儀．

　　【教學步驟：】

　　1．設置情境

　　角的范圍已經(jīng)推廣，那么對任一角 是否也能像銳角一樣定義其四種三角函數(shù)呢？本節(jié)課就來討論這一問題．

　　2．探索研究

　　（1）復習回憶銳角三角函數(shù)

　　我們已經(jīng)學習過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角 為自變量，以比值為函數(shù)值，定義了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù)，本節(jié)課我們研究當角 是一個任意角時，其三角函數(shù)的定義及其幾何表示．

　　（2）任意角的三角函數(shù)定義

　　如圖1，設 是任意角， 的終邊上任意一點 的坐標是 ，當角 在第一、二、三、四象限時的情形，它與原點的距離為 ，則 ．

　　定義：①比值 叫做 的正弦，記作 ，即 ．

　�、诒戎� 叫做 的余弦，記作 ，即 ．

　　圖1

　�、郾戎� 叫做 的正切，記作 ，即 ．

　　同時提供顯示任意角的三角函數(shù)所在象限的課件

　　提問：對于確定的角 ，這三個比值的大小和 點在角 的終邊上的位置是否有關呢？

　　利用三角形相似的知識，可以得出對于角 ，這三個比值的大小與 點在角 的終邊上的位置無關，只與角 的大小有關．

　　請同學們觀察當 時， 的終邊在 軸上，此時終邊上任一點 的橫坐標 都等于0，所以 無意義，除此之外，對于確定的角 ，上面三個比值都是惟一確定的．把上面定義中三個比的前項、后項交換，那么得到另外三個定義．

　�、鼙戎� 叫做 的余切，記作 ，則 ．

　�、荼戎� 叫做 的正割，記作 ，則 ．

　　⑥比值 叫做 的余割，記作 ，則 ．

　　可以看出：當 時， 的終邊在 軸上，這時 的縱坐標 都等于0，所以 與 的值不存在，當 時， 的值不存在，除此之外，對于確定的角 ，比值 ， ， 分別是一個確定的實數(shù)，所以我們把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)．

　�。�3）三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)

　　對于確定的角 ，如圖2所示， ， ， 分別對應的比值各是一個確定的`實數(shù)，因此，正弦，余弦，正切分別可看成從一個角的集合到一個比值的集合的映射，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，當采用弧度制來度量角時，每一個確定的角有惟一確定的弧度數(shù)，這是一個實數(shù)，所以這幾種三角函數(shù)也都可以看成是以實數(shù)為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．

　　即：實數(shù)→角（其弧度數(shù)等于這個實數(shù)）→三角函數(shù)值（實數(shù)）

　　（4）三角函數(shù)的一種幾何表示

　　利用單位圓有關的有向線段，作出正弦線，余弦線，正切線，如下圖3．

　　圖3

　　設任意角 的頂點在原點 ，始邊與 軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點 ，過 作 軸的垂線，垂足為 ；過點 作單位圓的切線，這條切線必然平行于軸，設它與角 的終邊（當 為第一、四象限時）或其反向延長線（當 為第二、三象限時）相交于 ，當角 的終邊不在坐標軸上時，我們把 ， 都看成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫有向線段．由正弦、余弦、正切函數(shù)的定義有：

　　這幾條與單位圓有關的有向線段 叫做角 的正弦線、余弦線、正切線．當角 的終邊在 軸上時，正弦線、正切線分別變成一個點；當角 的終邊在 軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存在．

　�。�5）例題講評

數(shù)學函數(shù)的教案 7

　　知識目標：理解函數(shù)的概念，能準確識別出函數(shù)關系中的自變量和函數(shù)

　　能力目標：會用變化的量描述事物

　　情感目標：回用運動的觀點觀察事物，分析事物

　　重點：函數(shù)的概念

　　難點：函數(shù)的概念

　　教學媒體：多媒體電腦，計算器

　　教學說明：注意區(qū)分函數(shù)與非函數(shù)的關系，學會確定自變量的取值范圍

　　教學設計：

　　引入：

　　信息1：小明在14歲生日時，看到他爸爸為他記錄的以前各年周歲時體重數(shù)值表，你能看出小明各周歲時體重是如何變化的嗎?

　　新課：

　　問題：(1)如圖是某日的氣溫變化圖。

　�、� 這張圖告訴我們哪些信息?

　�、� 這張圖是怎樣來展示這天各時刻的溫度和刻畫這鐵的氣溫變化規(guī)律的?

　　(2)收音機上的`刻度盤的波長和頻率分別是用米(m)和赫茲(KHz)為單位標刻的，下表中是一些對應的數(shù)：

　�、� 這表告訴我們哪些信息?

　�、� 這張表是怎樣刻畫波長和頻率之間的變化規(guī)律的，你能用一個表達式表示出來嗎?

　　一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。如果當x=a時，y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數(shù)值。

　　范例：例1 判斷下列變量之間是不是函數(shù)關系：

　　(5) 長方形的寬一定時，其長與面積;

　　(6) 等腰三角形的底邊長與面積;

　　(7) 某人的年齡與身高;

　　活動1：閱讀教材7頁觀察1. 后完成教材8頁探究，利用計算器發(fā)現(xiàn)變量和函數(shù)的關系

　　思考：自變量是否可以任意取值

　　例2 一輛汽車的油箱中現(xiàn)有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y(單位：L)隨行駛里程x(單位：km)的增加而減少，平均耗油量為0.1L/km。

　　(1) 寫出表示y與x的函數(shù)關系式.

　　(2) 指出自變量x的取值范圍.

　　(3) 汽車行駛200km時，油箱中還有多少汽油?

　　解：(1)y=50-0.1x

　　(2)0500

　　(3)x=200,y=30

　　活動2：練習教材9頁練習

　　小結(jié)：(1)函數(shù)概念

　　(2)自變量，函數(shù)值

　　(3)自變量的取值范圍確定

　　作業(yè)：18頁：2，3，4題

數(shù)學函數(shù)的教案 8

　　教學目標

　　1．使學生理解函數(shù)單調(diào)性的概念，并能判斷一些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性．

　　2．通過函數(shù)單調(diào)性概念的教學，培養(yǎng)學生分析問題、認識問題的能力．通過例題培養(yǎng)學生利用定義進行推理的邏輯思維能力．

　　3．通過本節(jié)課的教學，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，對學生進行辯證唯物主義的教育．

　　教學重點與難點

　　教學重點：函數(shù)單調(diào)性的概念．

　　教學難點：函數(shù)單調(diào)性的判定．

　　教學過程設計

　　一、引入新課

　　師：請同學們觀察下面兩組在相應區(qū)間上的函數(shù)，然后指出這兩組函數(shù)之間在性質(zhì)上的主要區(qū)別是什么？

　�。ㄓ猛队盎脽艚o出兩組函數(shù)的圖象．）

　　第一組：

　　第二組：

　　生：第一組函數(shù)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；第二組函數(shù)，函數(shù)值y隨x的增大而減�。�

　　師：（手執(zhí)投影棒使之沿曲線移動）對．他（她）答得很好，這正是兩組函數(shù)的主要區(qū)別．當x變大時，第一組函數(shù)的函數(shù)值都變大，而第二組函數(shù)的函數(shù)值都變�。�雖然在每一組函數(shù)中，函數(shù)值變大或變小的方式并不相同，但每一組函數(shù)卻具有一種共同的性質(zhì)．我們在學習一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及冪函數(shù)時，就曾經(jīng)根據(jù)函數(shù)的圖象研究過函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的變大而變大或變小的性質(zhì)．而這些研究結(jié)論是直觀地由圖象得到的．在函數(shù)的集合中，有很多函數(shù)具有這種性質(zhì)，因此我們有必要對函數(shù)這種性質(zhì)作更進一步的一般性的討論和研究，這就是我們今天這一節(jié)課的內(nèi)容．

　�。�點明本節(jié)課的內(nèi)容，既是曾經(jīng)有所認識的，又是新的知識，引起學生的注意．）

　　二、對概念的分析

　�。ò鍟�課題：）

　　師：請同學們打開課本第51頁，請××同學把增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的定義朗讀一遍．

　�。▽W生朗讀．）

　　師：好，請坐．通過剛才閱讀增函數(shù)和減函數(shù)的定義，請同學們思考一個問題：這種定義方法和我們剛才所討論的函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大或減小是否一致？如果一致，定義中是怎樣描述的？

　　生：我認為是一致的．定義中的“當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y隨x的增大而增大；“當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y隨x的增大而減少．

　　師：說得非常正確．定義中用了兩個簡單的不等關系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻劃了函數(shù)的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的性質(zhì)．這就是數(shù)學的魅力！

　�。ㄍㄟ^教師的情緒感染學生，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣．）

　　師：現(xiàn)在請同學們和我一起來看剛才的兩組圖中的第一個函數(shù)y=f1（x）和y=f2（x）的圖象，體會這種魅力．

　�。ㄖ笀D說明．）

　　師：圖中y=f1（x）對于區(qū)間[a，b]上的任意x1，x2，當x1＜x2時，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)遞增的，區(qū)間[a，b]是函數(shù)y=f1（x）的單調(diào)增區(qū)間；而圖中y=f2（x）對于區(qū)間[a，b]上的任意x1，x2，當x1＜x2時，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)遞減的，區(qū)間[a，b]是函數(shù)y=f2（x）的單調(diào)減區(qū)間．

　�。ń處熤笀D說明分析定義，使學生把函數(shù)單調(diào)性的定義與直觀圖象結(jié)合起來，使新舊知識融為一體，加深對概念的理解．滲透數(shù)形結(jié)合分析問題的數(shù)學思想方法．）

　　師：因此我們可以說，增函數(shù)就其本質(zhì)而言是在相應區(qū)間上較大的自變量對應……

　�。ú话言捳f完，指一名學生接著說完，讓學生的思維始終跟著老師．）

　　生：較大的函數(shù)值的函數(shù)．

　　師：那么減函數(shù)呢？

　　生：減函數(shù)就其本質(zhì)而言是在相應區(qū)間上較大的自變量對應較小的函數(shù)值的函數(shù)．

　�。▽W生可能回答得不完整，教師應指導他說完整．）

　　師：好．我們剛剛以增函數(shù)和減函數(shù)的定義作了初步的分析，通過閱讀和分析你認為在定義中我們應該抓住哪些關鍵詞語，才能更透徹地認識定義？

　�。▽W生思索．）

　　學生在高中階段以至在以后的學習中經(jīng)常會遇到一些概念（或定義），能否抓住定義中的關鍵詞語，是能否正確地、深入地理解和掌握概念的重要條件，更是學好數(shù)學及其他各學科的重要一環(huán)．因此教師應該教會學生如何深入理解一個概念，以培養(yǎng)學生分析問題，認識問題的能力．

　�。ń處熢趯W生思索過程中，再一次有感情地朗讀定義，并注意在關鍵詞語處適當加重語氣．在學生感到無從下手時，給以適當?shù)奶崾荆��?/p>

　　生：我認為在定義中，有一個詞“給定區(qū)間”是定義中的關鍵詞語．

　　師：很好，我們在學習任何一個概念的時候，都要善于抓住定義中的關鍵詞語，在學習幾個相近的概念時還要注意區(qū)別它們之間的不同．增函數(shù)和減函數(shù)都是對相應的區(qū)間而言的，離開了相應的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性．請大家思考一個問題，我們能否說一個函數(shù)在x=5時是遞增或遞減的？為什么？

　　生：不能．因為此時函數(shù)值是一個數(shù)．

　　師：對．函數(shù)在某一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)（注意這四個字“唯一確定”），因而沒有增減的變化．那么，我們能不能脫離區(qū)間泛泛談論某一個函數(shù)是增函數(shù)或是減函數(shù)呢？你能否舉一個我們學過的例子？

　　生：不能．比如二次函數(shù)y=x2，在y軸左側(cè)它是減函數(shù)，在y軸右側(cè)它是增函數(shù)．因而我們不能說y=x2是增函數(shù)或是減函數(shù)．

　　（在學生回答問題時，教師板演函數(shù)y=x2的圖像，從“形”上感知．）

　　師：好．他（她）舉了一個例子來幫助我們理解定義中的詞語“給定區(qū)間”．這說明是函數(shù)在某一個區(qū)間上的性質(zhì)，但這不排斥有些函數(shù)在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)或減函數(shù)．因此，今后我們在談論函數(shù)的.增減性時必須指明相應的區(qū)間．

　　師：還有沒有其他的關鍵詞語？

　　生：還有定義中的“屬于這個區(qū)間的任意兩個”和“都有”也是關鍵詞語．

　　師：你答的很對．能解釋一下為什么嗎？

　�。▽W生不一定能答全，教師應給予必要的提示．）

　　師：“屬于”是什么意思？

　　生：就是說兩個自變量x1，x2必須取自給定的區(qū)間，不能從其他區(qū)間上�。�

　　師：如果是閉區(qū)間的話，能否取自區(qū)間端點？

　　生：可以．

　　師：那么“任意”和“都有”又如何理解？

　　生：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數(shù)的增減性，而“都有”則是說只要x1＜x2，f（x1）就必須都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．

　　師：能不能構(gòu)造一個反例來說明“任意”呢？

　�。ㄗ寣W生思考片刻．）

　　生：可以構(gòu)造一個反例．考察函數(shù)y=x2，在區(qū)間[-2，2]上，如果取兩個特定的值x1=-2，x2=1，顯然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的減函數(shù)，那就錯了．

　　師：那么如何來說明“都有”呢？

　　生：y=x2在[-2，2]上，當x1=-2，x2=-1時，有f（x1）＞f（x2）；當x1=1，x2=2時，有f（x1）＜f（x2），這時就不能說y=x2，在[-2，2]上是增函數(shù)或減函數(shù)．

　　師：好極了！通過分析定義和舉反例，我們知道要判斷函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)或減函數(shù)，不能由特定的兩個點的情況來判斷，而必須嚴格依照定義在給定區(qū)間內(nèi)任取兩個自變量x1，x2，根據(jù)它們的函數(shù)值f（x1）和f（x2）的大小來判定函數(shù)的增減性．

　�。ń處熗ㄟ^一系列的設問，使學生處于積極的思維狀態(tài)，從抽象到具體，并通過反例的反襯，使學生加深對定義的理解．在概念教學中，反例常常幫助學生更深刻地理解概念，鍛煉學生的發(fā)散思維能力．）

　　師：反過來，如果我們已知f（x）在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么，我們就可以通過自變量的大小去判定函數(shù)值的大小，也可以由函數(shù)值的大小去判定自變量的大�。�即一般成立則特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．這恰是辯證法中一般和特殊的關系．

　�。ㄓ棉q證法的原理來解釋數(shù)學知識，同時用數(shù)學知識去理解辯證法的原理，這樣的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的內(nèi)涵和外延，培養(yǎng)學生學習的能力．）

　　三、概念的應用

　　例1 圖4所示的是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象說出f（x）的單調(diào)區(qū)間，并回答：在每一個單調(diào)區(qū)間上，f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)？

　�。ㄓ猛队盎脽艚o出圖象．）

　　生甲：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-5，-2]，[1，3]上是減函數(shù)，因此[-5，-2]，[1，3]是函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間；在區(qū)間[-2，1]，[3，5]上是增函數(shù)，因此[-2，1]，[3，5]是函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

　　生乙：我有一個問題，[-5，-2]是函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，那么，是否可認為（-5，-2）也是f（x）的單調(diào)減區(qū)間呢？

　　師：問得好．這說明你想的很仔細，思考問題很嚴謹．容易證明：若f（x）在[a，b]上單調(diào)（增或減），則f（x）在（a，b）上單調(diào)（增或減）．反之不然，你能舉出反例嗎？一般來說．若f（x）在[a，（增或減）．反之不然．

　　例2 證明函數(shù)f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

　　師：從函數(shù)圖象上觀察固然形象，但在理論上不夠嚴格，尤其是有些函數(shù)不易畫出圖象，因此必須學會根據(jù)解析式和定義從數(shù)量上分析辨認，這才是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本途徑．

　�。ㄖ赋鲇枚�義證明的必要性．）

　　師：怎樣用定義證明呢？請同學們思考后在筆記本上寫出證明過程．

　�。ń處熝惨暎�并指定一名中等水平的學生在黑板上板演．學生可能會對如何比較f（x1）和f（x2）的大小關系感到無從入手，教師應給以啟發(fā)．）

　　師：對于f（x1）和f（x2）我們?nèi)绾伪容^它們的大小呢？我們知道對兩個實數(shù)a，b，如果a＞b，那么它們的差a-b就大于零；如果a=b，那么它們的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它們的差a-b就小于零，反之也成立．因此我們可由差的符號來決定兩個數(shù)的大小關系．

　　生：（板演）設x1，x2是（-∞，+∞）上任意兩個自變量，當x1＜x2時，

　　f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，

　　所以f（x）是增函數(shù)．

　　師：他的證明思路是清楚的．一開始設x1，x2是（-∞，+∞）內(nèi)任意兩個自變量，并設x1＜x2（邊說邊用彩色粉筆在相應的語句下劃線，并標注“①→設”），然后看f（x1）-f（x2），這一步是證明的關鍵，再對式子進行變形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，這一步可概括為“作差，變形”（同上，劃線并標注”②→作差，變形”）．但美中不足的是他沒能說明為什么f（x1）-f（x2）＜0，沒有用到開始的假設“x1＜x2”，不要以為其顯而易見，在這里一定要對變形后的式子說明其符號．應寫明“因為x1＜x2，所以x1-x2＜0，從而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”這一步可概括為“定符號”（在黑板上板演，并注明“③→定符號”）．最后，作為證明題一定要有結(jié)論，我們把它稱之為第四步“下結(jié)論”（在相應位置標注“④→下結(jié)論”）．

　　這就是我們用定義證明函數(shù)增減性的四個步驟，請同學們記�。�需要指出的是第二步，如果函數(shù)y=f（x）在給定區(qū)間上恒大于零，也可以小．

　�。▽�學生的做法進行分析，把證明過程步驟化，可以形成思維的定勢．在學生剛剛接觸一個新的知識時，思維定勢對理解知識本身是有益的，同時對學生養(yǎng)成一定的思維習慣，形成一定的解題思路也是有幫助的．）

　　調(diào)函數(shù)嗎？并用定義證明你的結(jié)論．

　　師：你的結(jié)論是什么呢？

　　上都是減函數(shù)，因此我覺得它在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數(shù)．

　　生乙：我有不同的意見，我認為這個函數(shù)不是整個定義域內(nèi)的減函數(shù)，因為它不符合減函數(shù)的定義．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2顯然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，顯然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定義域內(nèi)的減函數(shù)．

　　生：也不能這樣認為，因為由圖象可知，它分別在（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數(shù)．

　　域內(nèi)的增函數(shù)，也不是定義域內(nèi)的減函數(shù)，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是減函數(shù)．因此在函數(shù)的幾個單調(diào)增（減）區(qū)間之間不要用符號“∪”連接．另外，x=0不是定義域中的元素，此時不要寫成閉區(qū)間．

　　上是減函數(shù)．

　　（教師巡視．對學生證明中出現(xiàn)的問題給予點拔．可依據(jù)學生的問題，給出下面的提示：

　�。�1）分式問題化簡方法一般是通分．

　�。�2）要說明三個代數(shù)式的符號：k，x1·x2，x2-x1．

　　要注意在不等式兩邊同乘以一個負數(shù)的時候，不等號方向要改變．

　　對學生的解答進行簡單的分析小結(jié)，點出學生在證明過程中所出現(xiàn)的問題，引起全體學生的重視．）

　　四、課堂小結(jié)

　　師：請同學小結(jié)一下這節(jié)課的主要內(nèi)容，有哪些是應該特別注意的？

　�。ㄕ堃粋�思路清晰，善于表達的學生口述，教師可從中給予提示．）

　　生：這節(jié)課我們學習了函數(shù)單調(diào)性的定義，要特別注意定義中“給定區(qū)間”、“屬于”、“任意”、“都有”這幾個關鍵詞語；在寫單調(diào)區(qū)間時不要輕易用并集的符號連接；最后在用定義證明時，應該注意證明的四個步驟．

　　五、作業(yè)

　　1．課本P53練習第1，2，3，4題．

　　數(shù)．

　　=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）

　　=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．（*）

　　+b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）．

　　課堂教學設計說明

　　是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，是研究函數(shù)時經(jīng)常要注意的一個性質(zhì)．并且在比較幾個數(shù)的大小、對函數(shù)作定性分析、以及與其他知識的綜合應用上都有廣泛的應用．對學生來說，早已有所知，然而沒有給出過定義，只是從直觀上接觸過這一性質(zhì)．學生對此有一定的感性認識，對概念的理解有一定好處，但另一方面學生也會覺得是已經(jīng)學過的知識，感覺乏味．因此，在設計教案時，加強了對概念的分析，希望能夠使學生認識到看似簡單的定義中有不少值得去推敲、去琢磨的東西，其中甚至包含著辯證法的原理．

　　另外，對概念的分析是在引進一個新概念時必須要做的，對概念的深入的正確的理解往往是學生認知過程中的難點．因此在本教案的設計過程中突出對概念的分析不僅僅是為了分析函數(shù)單調(diào)性的定義，而且想讓學生對如何學會、弄懂一個概念有初步的認識，并且在以后的學習中學有所用．

　　還有，使用函數(shù)單調(diào)性定義證明是一個難點，學生剛剛接觸這種證明方法，給出一定的步驟是必要的，有利于學生理解概念，也可以對學生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助．另外，這也是以后要學習的不等式證明方法中的比較化的基本思路，現(xiàn)在提出要求，對今后的教學作一定的鋪墊．

數(shù)學函數(shù)的教案 9

　　知識目標：理解函數(shù)的概念，能準確識別出函數(shù)關系中的自變量和函數(shù)

　　能力目標：會用變化的量描述事物

　　情感目標：回用運動的觀點觀察事物，分析事物

　　重點：函數(shù)的概念

　　難點：函數(shù)的概念

　　教學媒體：多媒體電腦，計算器

　　教學說明：注意區(qū)分函數(shù)與非函數(shù)的關系，學會確定自變量的取值范圍

　　教學設計：

　　引入：

　　信息：小明在14歲生日時，看到他爸爸為他記錄的以前各年周歲時體重數(shù)值表，你能看出小明各周歲時體重是如何變化的嗎?

　　新課：

　　問題：

　　(1)如圖是某日的氣溫變化圖。

　�、龠@張圖告訴我們哪些信息?

　�、谶@張圖是怎樣來展示這天各時刻的溫度和刻畫這鐵的氣溫變化規(guī)律的?

　　(2)收音機上的刻度盤的波長和頻率分別是用米(m)和赫茲(KHz)為單位標刻的，下表中是一些對應的數(shù)：

　　①這表告訴我們哪些信息?

　　教學引入：

　　師：教材在《四邊形》這一章《引言》里有這樣一句話：把一個長方形折疊就可以得到一個正方形�，F(xiàn)在請同學們拿出一個長方形紙條，按動畫所示進行折疊處理。

　　動畫演示：

　　場景一：正方形折疊演示

　　師：這就是我們得到的正方形。下面請同學們拿出三角板(刻度尺)和圓規(guī)，我們來研究正方形的幾何性質(zhì)—邊、角以及對角線之間的關系。請大家測量各邊的長度、各角的大小、對角線的長度以及對角線交點到各頂點的長度。

　　[學生活動：各自測量。]

　　鼓勵學生將測量結(jié)果與鄰近同學進行比較，找出共同點。

　　講授新課

　　找一兩個學生表述其結(jié)論，表述是要注意糾正其語言的規(guī)范性。

　　動畫演示：

　　場景二：正方形的性質(zhì)

　　師：這些性質(zhì)里那些是矩形的'性質(zhì)?

　　[學生活動：尋找矩形性質(zhì)。]

　　動畫演示：

　　場景三：矩形的性質(zhì)

　　師：同樣在這些性質(zhì)里尋找屬于菱形的性質(zhì)。

　　[學生活動;尋找菱形性質(zhì)。]

　　動畫演示：

　　場景四：菱形的性質(zhì)

　　師：這說明正方形具有矩形和菱形的全部性質(zhì)。

　　及時提出問題，引導學生進行思考。

　　師：根據(jù)這些性質(zhì)，我們能不能給正方形下一個定義?怎么樣給正方形下一個準確的定義?

　　[學生活動：積極思考，有同學做躍躍欲試狀。]

　　師：請同學們回想矩形與菱形的定義，可以根據(jù)矩形與菱形的定義類似的給出正方形的定義。

　　學生應能夠向出十種左右的定義方式，其余作相應鼓勵，把以下三種板書：

　　“有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形�！�

　　“有一個角是直角的菱形叫做正方形�！�

　　“有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形�！�

　　[學生活動：討論這三個定義正確不正確?三個定義之間有什么共同和不同的地方?這出教材中采用的是第三種定義方式。]

　　師：根據(jù)定義，我們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系梳理一下。

　�、谶@張表是怎樣刻畫波長和頻率之間的變化規(guī)律的，你能用一個表達式表示出來嗎?

　　一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。如果當x=a時，y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數(shù)值。

　　范例：例1判斷下列變量之間是不是函數(shù)關系：

　　(1)長方形的寬一定時，其長與面積;

　　(2)等腰三角形的底邊長與面積;

　　(3)某人的年齡與身高;

　　活動1：閱讀教材7頁觀察1.后完成教材8頁探究，利用計算器發(fā)現(xiàn)變量和函數(shù)的關系

　　思考：自變量是否可以任意取值

　　例2一輛汽車的油箱中現(xiàn)有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y(單位：L)隨行駛里程x(單位：km)的增加而減少，平均耗油量為0.1L/km。

　　(1)寫出表示y與x的函數(shù)關系式.

　　(2)指出自變量x的取值范圍.

　　(3)汽車行駛200km時，油箱中還有多少汽油?

　　解：(1)y=50-0.1x

　　(2)0≤x≤500

　　(3)x=200,y=30

　　活動2：練習教材9頁練習

　　小結(jié)：

　　(1)函數(shù)概念

　　(2)自變量，函數(shù)值

　　(3)自變量的取值范圍確定

　　作業(yè)：略

數(shù)學函數(shù)的教案 10

　　教學目標：

　�、僬莆諏�數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

　�、趹�用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以解決：對數(shù)的大小比較，求復合函數(shù)的定義域、值 域及單調(diào)性。

　�、� 注重函數(shù)思想、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想的滲透,提高解題能力。

　　教學重點與難點：

　　對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應用。

　　教學過程設計：

　　⒈復習提問：對數(shù)函數(shù)的概念及性質(zhì)。

　　⒉開始正課

　　1 比較數(shù)的大小

　　例 1 比較下列各組數(shù)的'大小。

　　⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)

　�、苐og0.50.6 ,logл0.5 ,lnл

　　師：請同學們觀察一下⑴中這兩個對數(shù)有何特征？

　　生：這兩個對數(shù)底相等。

　　師：那么對于兩個底相等的對數(shù)如何比大�。�

　　生：可構(gòu)造一個以a為底的對數(shù)函數(shù)，用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比大小。

　　師：對，請敘述一下這道題的解題過程。

　　生：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底的大�。寒�0

　　調(diào)遞減，所以loga5.1>loga5.9 ；當a>1時，函數(shù)y=logax單調(diào)遞

　　增，所以loga5.1

　　板書：

　　解：�。┊�0

　　∵5.1<5.9 loga5.1="">loga5.9

　�、ⅲ┊攁>1時，函數(shù)y=logax在（0，+∞）上是增函數(shù)，

　　∵5.1<5.9 ∴l(xiāng)oga5.1

　　師：請同學們觀察一下⑵中這三個對數(shù)有何特征？

　　生：這三個對數(shù)底、真數(shù)都不相等。

　　師：那么對于這三個對數(shù)如何比大小？

　　生：找“中間量”， log0.50.6>0，lnл>0，logл0.5<0；lnл>1，

　　log0.50.6<1，所以logл0.5< log0.50.6< lnл。

　　板書：略。

　　師：比較對數(shù)值的大小常用方法：①構(gòu)造對數(shù)函數(shù)，直接利用對數(shù)函

　　數(shù) 的單調(diào)性比大小，②借用“中間量”間接比大小，③利用對數(shù)

　　函數(shù)圖象的位置關系來比大小。

　　2 函數(shù)的定義域, 值 域及單調(diào)性。

　　例 2 ⑴求函數(shù)y=的定義域。

　　⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3)

　　師：如何來求⑴中函數(shù)的定義域？（提示：求函數(shù)的定義域，就是要

　　使函數(shù)有意義。若函數(shù)中含有分母，分母不為零；有偶次根式，

　　被開方式大于或等于零；若函數(shù)中有對數(shù)的形式，則真數(shù)大于

　　零，如果函數(shù)中同時出現(xiàn)以上幾種情況，就要全部考慮進去，求

　　它們共同作用的結(jié)果。）

　　生：分母2x-1≠0且偶次根式的被開方式log0.8x-1≥0，且真數(shù)x>0。

　　板書：

　　解：∵ 2x-1≠0 x≠0.5

　　log0.8x-1≥0 ， x≤0.8

　　x>0 x>0

　　∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕

　　師：接下來我們一起來解這個不等式。

　　分析：要解這個不等式,首先要使這個不等式有意義，即真數(shù)大于零，

　　再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解。

　　師：請你寫一下這道題的解題過程。

　　生：<板書>

　　解： x2+2x-3>0 x<-3 x="">1

　　(3x+3)>0 , x>-1

　　x2+2x-3<(3x+3) -2

　　不等式的解為：1

　　例 3 求下列函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間。

　�、舮=log0.5(x- x2)

　�、苰=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1)

　　師：求例3中函數(shù)的的值域和單調(diào)區(qū)間要用及復合函數(shù)的思想方法。

　　下面請同學們來解⑴。

　　生：此函數(shù)可看作是由y= log0.5u, u= x- x2復合而成。

數(shù)學函數(shù)的教案 11

　　知識技能目標

　　1、理解反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，利用描點法畫出反比例函數(shù)的圖象，說出它的性質(zhì)；

　　2、利用反比例函數(shù)的圖象解決有關問題。

　　過程性目標

　　1、經(jīng)歷對反比例函數(shù)圖象的觀察、分析、討論、概括過程，會說出它的性質(zhì)；

　　2、探索反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)，體會用數(shù)形結(jié)合思想解數(shù)學問題。

　　教學過程

　　一、創(chuàng)設情境

　　上節(jié)的練習中，我們畫出了問題1中函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)它并不是直線。那么它是怎么樣的曲線呢？本節(jié)課，我們就來討論一般的反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的圖象，探究它有什么性質(zhì)。

　　二、探究歸納

　　1、畫出函數(shù)的圖象。

　　分析畫出函數(shù)圖象一般分為列表、描點、連線三個步驟，在反比例函數(shù)中自變量x≠0。

　　解

　　1、列表：這個函數(shù)中自變量x的取值范圍是不等于零的一切實數(shù)，列出x與y的對應值：

　　2、描點：用表里各組對應值作為點的坐標，在直角坐標系中描出在京各點點（—6，—1）、（—3，—2）、（—2，—3）等。

　　3、連線：用平滑的曲線將第一象限各點依次連起來，得到圖象的第一個分支；用平滑的曲線將第三象限各點依次連起來，得到圖象的另一個分支。這兩個分支合起來，就是反比例函數(shù)的圖象。

　　上述圖象，通常稱為雙曲線（hyperbola）。

　　提問這兩條曲線會與x軸、y軸相交嗎？為什么？

　　學生試一試：畫出反比例函數(shù)的圖象（學生動手畫反比函數(shù)圖象，進一步掌握畫函數(shù)圖象的步驟）。

　　學生討論、交流以下問題，并將討論、交流的結(jié)果回答問題。

　　1、這個函數(shù)的圖象在哪兩個象限？和函數(shù)的圖象有什么不同？

　　2、反比例函數(shù)（k≠0）的圖象在哪兩個象限內(nèi)？由什么確定？

　　3、聯(lián)系一次函數(shù)的性質(zhì)，你能否總結(jié)出反比例函數(shù)中隨著自變量x的增加，函數(shù)y將怎樣變化？有什么規(guī)律？

　　反比例函數(shù)有下列性質(zhì)：

　�。�1）當k>0時，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增加而減少；

　�。�2）當k<0時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增加而增加。

　　注

　　1、雙曲線的兩個分支與x軸和y軸沒有交點；

　　2、雙曲線的兩個分支關于原點成中心對稱。

　　以上兩點性質(zhì)在上堂課的問題1和問題2中反映了怎樣的實際意義？

　　在問題1中反映了汽車比自行車的速度快，小華乘汽車比騎自行車到鎮(zhèn)上的時間少。

　　在問題2中反映了在面積一定的情況下，飼養(yǎng)場的一邊越長，另一邊越小。

　　三、實踐應用

　　例1若反比例函數(shù)的`圖象在第二、四象限，求m的值。

　　分析由反比例函數(shù)的定義可知：，又由于圖象在二、四象限，所以m+1<0，由這兩個條件可解出m的值。

　　解由題意，得解得。

　　例2已知反比例函數(shù)（k≠0），當x>0時，y隨x的增大而增大，求一次函數(shù)y=kx—k的圖象經(jīng)過的象限。

　　分析由于反比例函數(shù)（k≠0），當x>0時，y隨x的增大而增大，因此k<0，而一次函數(shù)y=kx—k中，k<0，可知，圖象過二、四象限，又—k>0，所以直線與y軸的交點在x軸的上方。

　　解因為反比例函數(shù)（k≠0），當x>0時，y隨x的增大而增大，所以k<0，所以一次函數(shù)y=kx—k的圖象經(jīng)過一、二、四象限。

　　例3已知反比例函數(shù)的圖象過點（1，—2）。

　�。�1）求這個函數(shù)的解析式，并畫出圖象；

　　（2）若點A（—5，m）在圖象上，則點A關于兩坐標軸和原點的對稱點是否還在圖象上？

　　分析（1）反比例函數(shù)的圖象過點（1，—2），即當x=1時，y=—2。由待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)解析式；再根據(jù)解析式，通過列表、描點、連線可畫出反比例函數(shù)的圖象；

　�。�2）由點A在反比例函數(shù)的圖象上，易求出m的值，再驗證點A關于兩坐標軸和原點的對稱點是否在圖象上。

　　解（1）設：反比例函數(shù)的解析式為：（k≠0）。

　　而反比例函數(shù)的圖象過點（1，—2），即當x=1時，y=—2。

　　所以，k=—2。

　　即反比例函數(shù)的解析式為：。

　　（2）點A（—5，m）在反比例函數(shù)圖象上，所以，

　　點A的坐標為。

　　點A關于x軸的對稱點不在這個圖象上；

　　點A關于y軸的對稱點不在這個圖象上；

　　點A關于原點的對稱點在這個圖象上；

　　例4已知函數(shù)為反比例函數(shù)。

　�。�1）求m的值；

　�。�2）它的圖象在第幾象限內(nèi)？在各象限內(nèi)，y隨x的增大如何變化？

　　（3）當—3≤x≤時，求此函數(shù)的最大值和最小值。

　　解（1）由反比例函數(shù)的定義可知：解得，m=—2。

　�。�2）因為—2<0，所以反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限內(nèi)，在各象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。

　�。�3）因為在第個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，

　　所以當x=時，y最大值=；

　　當x=—3時，y最小值=。

　　所以當—3≤x≤時，此函數(shù)的最大值為8，最小值為。

　　例5一個長方體的體積是100立方厘米，它的長是y厘米，寬是5厘米，高是x厘米。

　�。�1）寫出用高表示長的函數(shù)關系式；

　�。�2）寫出自變量x的取值范圍；

　�。�3）畫出函數(shù)的圖象。

　　解（1）因為100=5xy，所以。

　�。�2）x>0。

　�。�3）圖象如下：

　　說明由于自變量x>0，所以畫出的反比例函數(shù)的圖象只是位于第一象限內(nèi)的一個分支。

　　四、交流反思

　　本節(jié)課學習了畫反比例函數(shù)的圖象和探討了反比例函數(shù)的性質(zhì)。

　　1、反比例函數(shù)的圖象是雙曲線（hyperbola）。

　　2、反比例函數(shù)有如下性質(zhì)：

　�。�1）當k>0時，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增加而減少；

　�。�2）當k<0時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增加而增加。

　　五、檢測反饋

　　1、在同一直角坐標系中畫出下列函數(shù)的圖象：

　�。�1）；（2）。

　　2、已知y是x的反比例函數(shù)，且當x=3時，y=8，求：

　�。�1）y和x的函數(shù)關系式；

　�。�2）當時，y的值；

　�。�3）當x取何值時，？

　　3、若反比例函數(shù)的圖象在所在象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，求n的值。

　　4、已知反比例函數(shù)經(jīng)過點A（2，—m）和B（n，2n），求：

　　（1）m和n的值；

　　（2）若圖象上有兩點P1（x1，y1）和P2（x2，y2），且x1<0

數(shù)學函數(shù)的教案 12

　　反函數(shù)

　　就關系而言，一般是雙向的 ，函數(shù)也如此 ，設y＝f（x）為已知的函數(shù)，若對每個y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）＝y(tǒng)，這是一個由y找x的過程 ，即x成了y的函數(shù) ，記為x＝f -1（y）。稱f -1為f的反函數(shù)。習慣上用x表示自變量 ，故這個函數(shù)仍記為y＝f -1（x） ，例如 y＝sinx與y＝arcsinx 互為反函數(shù)。在同一坐標系中，y＝f（x）與y＝f -1（x）的圖形關于直線y＝x對稱。

　　隱函數(shù)

　　若能由函數(shù)方程 F（x，y）＝0 確定y為x的函數(shù)y＝f（x），即F（x，f（x））≡0，就稱y是x的隱函數(shù)。

　　思考：隱函數(shù)是否為函數(shù)？因為在其變化的過程中并不滿足“一對一”和“多對一”

　　多元函數(shù)

　　設點（x1，x2，…，xn） ∈GRn，UR1 ，若對每一點（x1，x2，…，xn）∈G，由某規(guī)則f有唯一的 u∈U與之對應：f：G→U，u＝f（x1，x2，…，xn），則稱f為一個n元函數(shù)，G為定義域，U為值域。

　　基本初等函數(shù)及其圖像 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)稱為基本初等函數(shù)。

　　①冪函數(shù)：y＝xμ（μ≠0，μ為任意實數(shù)）定義域：μ為正整數(shù)時為（－∞，＋∞），μ為負整數(shù)時是（－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝(α為整數(shù))，當α是奇數(shù)時為（ －∞，＋∞），當α是偶數(shù)時為（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作為的復合函數(shù)進行討論。略圖如圖2、圖3。

　�、谥笖�(shù)函數(shù)：y＝ax（a＞0 ，a≠1），定義成為（ －∞，＋∞），值域為（0 ，＋∞），a＞0 時是嚴格單調(diào)增加的函數(shù)（ 即當x2＞x1時，） ，0＜a＜1 時是嚴格單減函數(shù)。對任何a，圖像均過點（0，1），注意y＝ax和y＝（）x的圖形關于y軸對稱。如圖4。

　　③對數(shù)函數(shù)：y＝logax（a＞0）， 稱a為底 ， 定義域為（0，＋∞），值域為（－∞，＋∞） 。a＞1 時是嚴格單調(diào)增加的，0＜a＜1時是嚴格單減的。不論a為何值，對數(shù)函數(shù)的圖形均過點（1，0），對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù) 。如圖5。

　　以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù) ，簡記為lgx 。在科學技術中普遍使用的是以e為底的對數(shù)，即自然對數(shù)，記作lnx。

　�、苋�角函數(shù)：見表2。

　　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)如圖6，圖7所示。

　�、莘慈�角函數(shù)：見表3。雙曲正、余弦如圖8。

　�、揠p曲函數(shù)：雙曲正弦（ex－e-x），雙曲余弦（ex＋e-x），雙曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x） ，雙曲余切（ ex＋e-x）／（ex－e-x）。

　　在數(shù)學領域，函數(shù)是一種關系，這種關系使一個集合里的每一個元素對應到另一個（可能相同的）集合里的唯一元素（這只是一元函數(shù)f（x）＝y(tǒng)的情況，請按英文原文把普遍定義給出，謝謝）。函數(shù)的概念對于數(shù)學和數(shù)量學的每一個分支來說都是最基礎的。

　　術語函數(shù)，映射，對應，變換通常都是同一個意思。

　　二次函數(shù)

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

　　y=ax^2+bx+c

　�。╝，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）

　　則稱y為x的二次函數(shù)。

　　二次函數(shù)表達式的`右邊通常為二次三項式。

　　x是自變量，y是x的函數(shù)

　　二次函數(shù)的三種表達式

　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

　　頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P（h，k）] 對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c 其頂點坐標為 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　交點式：y=a(x-x?)(x-x ?) [僅限于與x軸有交點A（x? ，0）和 B（x?，0）的拋物線]

　　其中x1，2= -b±√b^2－4ac

　　注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關系:

　　h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　二次函數(shù)的圖像

　　在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，

　　可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

　　拋物線的性質(zhì)

　　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。

　　對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

　　特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

　　2.拋物線有一個頂點P，坐標為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

　　當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。

　　3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；

　　當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。

　　5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交于（0，c）

　　6.拋物線與x軸交點個數(shù)

　　Δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。

　　Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

　　y=ax^2+bx+c

　�。╝，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）

　　則稱y為x的二次函數(shù)。

　　二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

　　x是自變量，y是x的函數(shù)

　　二次函數(shù)的三種表達式

　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

　　頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P（h，k）] 對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c 其頂點坐標為 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　交點式：y=a(x-x?)(x-x ?) [僅限于與x軸有交點A（x? ，0）和 B（x?，0）的拋物線]

　　其中x1，2= -b±√b^2－4ac

　　注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關系:

　　h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　二次函數(shù)的圖像

　　在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，

　　可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

　　拋物線的性質(zhì)

　　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。

　　對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

　　特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

　　2.拋物線有一個頂點P，坐標為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )

　　當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。

　　3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

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數(shù)學函數(shù)的教案 13

　　1.掌握對數(shù)函數(shù)的概念，圖象和性質(zhì)，且在掌握性質(zhì)的基礎上能進行初步的應用。

　　（1） 能在指數(shù)函數(shù)及反函數(shù)的概念的基礎上理解對數(shù)函數(shù)的定義，了解對底數(shù)的要求，及對定義域的要求，能利用互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象間的關系正確描繪對數(shù)函數(shù)的圖象。

　　（2） 能把握指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的實質(zhì)去研究認識對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，初步學會用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決簡單的問題。

　　2.通過對數(shù)函數(shù)概念的學習，樹立相互聯(lián)系相互轉(zhuǎn)化的觀點，通過對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的學習，滲透數(shù)形結(jié)合，分類討論等思想，注重培養(yǎng)學生的觀察，分析，歸納等邏輯思維能力。

　　3.通過指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)在圖象與性質(zhì)上的對比，對學生進行對稱美，簡潔美等審美教育，調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性。

　　高一數(shù)學對數(shù)函數(shù)教案：教材分析

　�。�1） 對數(shù)函數(shù)又是函數(shù)中一類重要的基本初等函數(shù)，它是在學生已經(jīng)學過對數(shù)與常用對數(shù)，反函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的基礎上引入的。故是對上述知識的應用，也是對函數(shù)這一重要數(shù)學思想的.進一步認識與理解。對數(shù)函數(shù)的概念，圖象與性質(zhì)的學習使學生的知識體系更加完整，系統(tǒng)，同時又是對數(shù)和函數(shù)知識的拓展與延伸。它是解決有關自然科學領域中實際問題的重要工具，是學生今后學習對數(shù)方程，對數(shù)不等式的基礎。

　�。�2） 本節(jié)的教學重點是理解對數(shù)函數(shù)的定義，掌握對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)。難點是利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。由于對數(shù)函數(shù)的概念是一個抽象的形式，學生不易理解，而且又是建立在指數(shù)與對數(shù)關系和反函數(shù)概念的基礎上，故應成為教學的重點。

　�。�3） 本節(jié)課的主線是對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所有的問題都應圍繞著這條主線展開。而通過互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關系由已知函數(shù)研究未知函數(shù)的性質(zhì)，這種方法是第一次使用，學生不適應，把握不住關鍵，所以應是本節(jié)課的難點。

　　高一數(shù)學對數(shù)函數(shù)教案：教法建議

　�。�1） 對數(shù)函數(shù)在引入時，就應從學生熟悉的指數(shù)問題出發(fā)，通過對指數(shù)函數(shù)的認識逐步轉(zhuǎn)化為對對數(shù)函數(shù)的認識，而且畫對數(shù)函數(shù)圖象時，既要考慮到對底數(shù) 的分類討論而且對每一類問題也可以多選幾個不同的底，畫在同一個坐標系內(nèi)，便于觀察圖象的特征，找出共性，歸納性質(zhì)。

　�。�2） 在本節(jié)課中結(jié)合對數(shù)函數(shù)教學的特點，一定要讓學生動手做，動腦想，大膽猜，要以學生的研究為主，教師只是不斷地反函數(shù)這條主線引導學生思考的方向。這樣既增強了學生的參與意識又教給他們思考問題的方法，獲取知識的途徑，使學生學有所思，思有所得，練有所獲，，從而提高學習興趣。

數(shù)學函數(shù)的教案 14

　　一、教學目的

　　1．使學生進一步理解自變量的取值范圍和函數(shù)值的意義．

　　2．使學生會用描點法畫出簡單函數(shù)的圖象．

　　二、教學重點、難點

　　重點：

　　1．理解與認識函數(shù)圖象的意義．

　　2．培養(yǎng)學生的看圖、識圖能力．

　　難點：

　　在畫圖的三個步驟的列表中，如何恰當?shù)剡x取自變量與函數(shù)的對應值問題．

　　三、教學過程

　　1．畫函數(shù)圖象的方法是描點法．其步驟：

　�。�1）列表．要注意適當選取自變量與函數(shù)的對應值．什么叫“適當”？——這就要求能選取表現(xiàn)函數(shù)圖象特征的幾個關鍵點．比如畫函數(shù)y=3x的圖象，其關鍵點是原點（0，0），只要再選取另一個點如M（3，9）就可以了．

　　一般地，我們把自變量與函數(shù)的對應值分別作為點的橫坐標和縱坐標，這就要把自變量與函數(shù)的對應值列出表來．

　�。�2）描點．我們把表中給出的有序?qū)崝?shù)對，看作點的坐標，在直角坐標系中描出相應的`點．

　�。�3）用光滑曲線連線．根據(jù)函數(shù)解析式比如y=3x，我們把所描的兩個點（0，0），（3，9）連成直線．

　　一般地，根據(jù)函數(shù)解析式，我們列表、描點是有限的幾個，只需在平面直角坐標系中，把這有限的幾個點連成表示函數(shù)的曲線（或直線）．

　　2．講解畫函數(shù)圖象的三個步驟和例．畫出函數(shù)y=x+0。5的圖象．

　　小結(jié)

　　本節(jié)課的重點是讓學生根據(jù)函數(shù)解析式畫函數(shù)圖象的三個步驟，自己動手畫圖．

　　練習：①選用課本練習（前一節(jié)已作：列表、描點，本節(jié)要求連線）

　　②補充題：畫出函數(shù)y=5x－2的圖象．

　　作業(yè)：選用課本習題．

　　四、教學注意問題

　　1．注意滲透數(shù)形結(jié)合思想．通過研究函數(shù)的圖象，對圖象所表示的一個變量隨另一個變量的變化而變化就更有形象而直觀的認識．把函數(shù)的解析式、列表、圖象三者結(jié)合起來，更有利于認識函數(shù)的本質(zhì)特征．

　　2．注意充分調(diào)動學生自己動手畫圖的積極性．

　　3．認識到由于計算器和計算機的普及化，代替了手工繪圖功能．故在教學中要傾向培養(yǎng)學生看圖、識圖的能力。

數(shù)學函數(shù)的教案 15

　　一、教材分析

　　本節(jié)課選自《普通高中課程標準數(shù)學教科書-必修1》(人教A版)《1.2.1 函數(shù)的概念》共3課時，本節(jié)課是第1課時。

　　托馬斯說：“函數(shù)概念是近代數(shù)學思想之花”。 生活中的許多現(xiàn)象如物體運動，氣溫升降，投資理財?shù)榷伎梢杂煤瘮?shù)的模型來刻畫，是我們更好地了解自己、認識世界和預測未來的重要工具。

　　函數(shù)是數(shù)學的重要的基礎概念之一，是高等數(shù)學重多學科的基礎概念和重要的研究對象。同時函數(shù)也是物理學等其他學科的重要基礎知識和研究工具，教學內(nèi)容中蘊涵著極其豐富的辯證思想。函數(shù)的的重要性正如恩格斯所說：“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動就進入了數(shù)學;有了變數(shù)，辯證法就進入了數(shù)學”。

　　二、學生學習情況分析

　　函數(shù)是中學數(shù)學的主體內(nèi)容，學生在中學階段對函數(shù)的認識分三個階段：(一)初中從運動變化的角度來刻畫函數(shù)，初步認識正比例、反比例、一次和二次函數(shù);(二)高中用集合與對應的觀點來刻畫函數(shù)，研究函數(shù)的性質(zhì)，學習典型的對、指、冪和三解函數(shù);(三)高中用導數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性和最值。

　　1.有利條件

　　現(xiàn)代教育心理學的研究認為，有效的概念教學是建立在學生已有知識結(jié)構(gòu)的基礎上的，因此教師在設計教學的過程中必須注意在學生已有知識結(jié)構(gòu)中尋找新概念的固著點，引導學生通過同化或順應，掌握新概念，進而完善知識結(jié)構(gòu)。

　　初中用運動變化的觀點對函數(shù)進行定義的，它反映了歷史上人們對它的一種認識，而且這個定義較為直觀，易于接受，因此按照由淺入深、力求符合學生認知規(guī)律的內(nèi)容編排原則，函數(shù)概念在初中介紹到這個程度是合適的。也為我們用集合與對應的觀點研究函數(shù)打下了一定的基礎。

　　2.不利條件

　　用集合與對應的觀點來定義函數(shù)，形式和內(nèi)容上都是比較抽象的'，這對學生的理解能力是一個挑戰(zhàn)，是本節(jié)課教學的一個不利條件。

　　三、教學目標分析

　　課標要求：通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用;了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.

　　1.知識與能力目標：

　�、拍軓募�合與對應的角度理解函數(shù)的概念，更要理解函數(shù)的本質(zhì)屬性;

　　⑵理解函數(shù)的三要素的含義及其相互關系;

　�、菚�求簡單函數(shù)的定義域和值域

　　2.過程與方法目標：

　　⑴通過豐富實例，使學生建立起函數(shù)概念的背景，體會函數(shù)是描述變量之間依賴關系的數(shù)學模型;

　�、圃诤瘮�(shù)實例中，通過對關鍵詞的強調(diào)和引導使學發(fā)現(xiàn)它們的共同特征，在此基礎上再用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用.

　　3.情感、態(tài)度與價值觀目標：

　　感受生活中的數(shù)學，感悟事物之間聯(lián)系與變化的辯證唯物主義觀點。

　　四、教學重點、難點分析

　　1.教學重點：對函數(shù)概念的理解，用集合與對應的語言來刻畫函數(shù);

　　重點依據(jù)：初中是從變量的角度來定義函數(shù)，高中是用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)。二者反映的本質(zhì)是一致的，即“函數(shù)是一種對應關系”。 但是，初中定義并未完全揭示出函數(shù)概念的本質(zhì)，對y?1這樣的函數(shù)用運動變化的觀點也很難解釋。在以函數(shù)為重要內(nèi)容的高中階段，課本應將函數(shù)定義為兩個數(shù)集之間的一種對應關系，按照這種觀點，使我們對函數(shù)概念有了更深一層的認識，也很容易說明y?1這函數(shù)表達式。因此，分析兩種函數(shù)概念的關系，讓學生融會貫通地理解函數(shù)的概念應為本節(jié)課的重點。

　　突出重點：重點的突出依賴于對函數(shù)概念本質(zhì)屬性的把握，使學生通過表面的語言描述抓住概念的精髓。

　　2.教學難點：第一：從實際問題中提煉出抽象的概念;第二：符號“y=f(x)”的含義的理解.

　　難點依據(jù)：數(shù)學語言的抽象概括難度較大，對符號y=f(x)的理解會受到以前知識的負遷移。

　　突破難點：難點的突破要依托豐富的實例，從集合與對應的角度恰當?shù)匾龑В�而對抽象符號的理解則要結(jié)合函數(shù)的三要素和小例子進行說明。

　　五、教法與學法分析

　　1.教法分析

　　本節(jié)課我主要采用教師導學法、知識遷移法和知識對比法，從學生熟悉的豐富實例出發(fā)，關注學生的原有的知識基礎，注重概念的形成過程，從初中的函數(shù)概念自然過度到函數(shù)的近代定我。

　　2.學法分析

　　在教學過程中我注意在教學中引導學生用模型法分析函數(shù)問題、通過自主學習法總結(jié)“區(qū)間”的知識。

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