不同學(xué)力水平的學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)符號(hào)學(xué)習(xí)的個(gè)案研究

不同學(xué)力水平的學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)符號(hào)學(xué)習(xí)的個(gè)案研究

　　在實(shí)際教學(xué)中，常聽到不少學(xué)生發(fā)出感嘆：數(shù)學(xué)太難學(xué)了!數(shù)學(xué)真的就那么難學(xué)嗎?為什么有的學(xué)生學(xué)起來(lái)如魚得水，而有的學(xué)生卻困難重重，積重難進(jìn)?依據(jù)我們多年的教學(xué)實(shí)際和平常與學(xué)生的交流，深深體會(huì)到數(shù)學(xué)符號(hào)的學(xué)習(xí)和理解是造成一部分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的一個(gè)相當(dāng)重要的原因．那么優(yōu)秀的學(xué)生是如何學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)符號(hào)的，他們學(xué)習(xí)和理解的方式，對(duì)于其他學(xué)生的學(xué)習(xí)和我們教師有效地進(jìn)行符號(hào)教學(xué)有何啟迪，而學(xué)習(xí)困難的學(xué)生學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)符號(hào)的障礙何在，教師應(yīng)如何依據(jù)他們的困難進(jìn)行教學(xué)，帶著這些問題，我們調(diào)查了洛陽(yáng)某高中二年級(jí)部分不同學(xué)力水平的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的學(xué)習(xí)和理解情況．該高中是一所普通中學(xué)．下文中，Ｔ表示老師；Ａ１：男生，頭腦靈活，數(shù)學(xué)成績(jī)良好；Ａ２：男生，思想活躍但粗心，數(shù)學(xué)成績(jī)較好；Ａ３：女生，比較踏實(shí)，數(shù)學(xué)成績(jī)不錯(cuò)；Ｂ１：男生，踏實(shí)，但反應(yīng)較慢，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有困難；Ｂ２：男生，思想活躍，但不愛學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；Ｂ３和Ｂ４均是女生，數(shù)學(xué)成績(jī)較差．

　　一、不同學(xué)力水平的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號(hào)的個(gè)案及其分析

　　1.不同學(xué)力水平的學(xué)生理解和記憶ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的個(gè)案研究

　　下面是筆者與兩位高中二年級(jí)學(xué)生之間就數(shù)學(xué)符號(hào)ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的一段對(duì)話：

　　T：在學(xué)習(xí)中你是如何區(qū)別ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的?

　　B１：不知道，經(jīng)常把它們兩個(gè)弄混．

　　Ｔ：你是如何記憶它們的?

　　B１：主要按課本上學(xué)習(xí)它們的先后順序記憶，但后來(lái)總是弄混．

　�。粒保撼踔袑W(xué)過(guò)ｙ＝ｘ２，ｙ＝ｘ３等冪的表示形式，所以就想到形如ｙ＝ｘa的函數(shù)為冪函數(shù)，另一個(gè)就是指數(shù)函數(shù)．

　　Ｔ：你們能否說(shuō)出ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的性質(zhì)?

　�。粒痹诩埳戏謩e畫出了ｙ＝ｘ２和ｙ＝ｘ３的圖象，依據(jù)ｙ＝ｘ２和ｙ＝ｘ３圖象說(shuō)出ｙ＝ｘa的性質(zhì)，而在說(shuō)明ｙ＝ａx的性質(zhì)時(shí)，則畫的是ｙ＝２x、ｙ＝３x的圖象．

　　B１：這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)是……

　　T：你能否畫圖說(shuō)明?

　　此時(shí)Ｂ１努力地回憶這兩個(gè)函數(shù)的圖象，但把兩種圖象混在一起了．

　　2.關(guān)于理解直線ａ在平面α內(nèi)和點(diǎn)Ａ在平面α內(nèi)的數(shù)學(xué)符號(hào)表示的個(gè)案

　�。裕褐本�ａ在平面α內(nèi)和點(diǎn)Ａ在平面α內(nèi)用數(shù)學(xué)符號(hào)怎樣表示?

　　Ａ２：ａα和Ａ∈α．

　�。拢玻海幡梁停痢师粒�

　�。拢常海帷师梁停痢师粒�

　�。拢矗海幡梁停力粒�

　　Ｔ：為什么這樣表示?

　�。粒玻褐本�和平面都可以看做集合，點(diǎn)看做元素，在代數(shù)中集合與集合之間用表示，元素與集合之間用∈表示．

　�。拢玻赫f(shuō)不出來(lái)，反正老師是這樣教的．

　　Ｂ３：點(diǎn)和直線都屬于平面吧．

　�。拢磩t畫出了直線和點(diǎn)在平面內(nèi)的圖形．

　　學(xué)生Ｂ４、Ｂ３可能發(fā)現(xiàn)直線在平面內(nèi)，點(diǎn)在平面內(nèi)，與元素在集合內(nèi)十分相似，于是就導(dǎo)致了錯(cuò)誤的理解和聯(lián)想．

　　分析：（1）學(xué)力水平高的學(xué)生在理解和記憶數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)，善于運(yùn)用自己學(xué)過(guò)的知識(shí)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行理解和主動(dòng)加工，使抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)被賦予了具體的含義和豐富的經(jīng)驗(yàn)背景，使新知對(duì)于自身來(lái)說(shuō)是可以理解的．比如學(xué)生Ａ１在理解和記憶ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的概念和性質(zhì)時(shí)，就能聯(lián)系到初中學(xué)過(guò)ｙ＝２x、ｙ＝３x的有關(guān)知識(shí)；而在第二個(gè)案例中學(xué)生Ａ２則聯(lián)想到代數(shù)中集合與集合之間、元素與集合之間的符號(hào)的表示，并通過(guò)對(duì)比和概括內(nèi)化到自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中，從而就擴(kuò)大了自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加清晰和有序．

　�。�2）學(xué)習(xí)困難的學(xué)生在理解數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)弄不清新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，或者使新舊知識(shí)發(fā)生了錯(cuò)誤的聯(lián)系，或者他們根本就沒有想去尋找新舊知識(shí)的聯(lián)系，換句話，學(xué)習(xí)困難的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)不理解符號(hào)的真正含義，既沒有要求理解數(shù)學(xué)符號(hào)意義的心向，也沒有掌握理解符號(hào)含義的方法，致使符號(hào)的外在表示和學(xué)生個(gè)體的內(nèi)在經(jīng)驗(yàn)背景脫節(jié)，既被動(dòng)學(xué)習(xí)又機(jī)械記憶，數(shù)學(xué)符號(hào)在個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中散落堆積，既加重學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，又成了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的障礙．

　�。�3）高學(xué)力水平的學(xué)生在學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)，能對(duì)新知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)的分析和加工，因而在記憶數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)就能自覺對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)表示的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行處理，使自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的概念、公式、定理形成了網(wǎng)狀排列，使新知識(shí)和舊知識(shí)保持了一定的連續(xù)性；而學(xué)習(xí)困難的學(xué)生的記憶基本是塊狀結(jié)構(gòu)，即學(xué)什么就記什么，從不思考不同的數(shù)學(xué)符號(hào)所表達(dá)的相同的內(nèi)容，它們記憶的大量數(shù)學(xué)符號(hào)是相互孤立的，即使有聯(lián)系也是混亂和松散的，有時(shí)還是錯(cuò)誤的，因此在回憶和提取時(shí)往往顯得忙亂和無(wú)效．

　　3.不同學(xué)力水平的學(xué)生在解題中運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)的個(gè)案研究

　�。�1）Ｆ（ｘ）的定義域?yàn)椋ǎ悖�ｄ），求函�?shù)Ｆ（２x）的定義域，其中ｃ＞０，ｄ＞０．

　�。�2）若Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx，求Ｆ（ａn），其中ｎ∈Ｎ，ｂ≠０，ａ＞0，ａ≠1．

　�。粒保海ǎ保┮�?yàn)椋悖迹�＜ｄ，所以ｃ＜２x＜ｄ，

　　即ｌｏｇ２c＜ｘ＜ｌｏｇ２d，所以函數(shù)Ｆ（２x）的定義域是（ｌｏｇ２c，ｌｏｇ２d）．

　�。�2）令ｘb＝ｔ，則ｌｏｇａx＝（ｌｏｇａt(yī)）/ｂ．

　　所以Ｆ（ｔ）＝（ｌｏｇａt(yī)）/ｂ，Ｆ（ａn）＝ｎ/ｂ．

　�。裕簽槭裁矗悖迹瞲＜ｄ?

　　Ａ１：因?yàn)椋疲ǎ瞲）是關(guān)于ｘ的一個(gè)復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義，函數(shù)ｕ＝２x的值域應(yīng)滿足Ｆ（ｘ）的定義域．

　�。裕簽槭裁戳睿鴅＝ｔ，解出Ｆ（ｔ）＝（ｌｏｇａt(yī)）/ｂ？

　�。粒保阂�求Ｆ（ａn），必須把關(guān)于Ｆ（ｘ）的對(duì)應(yīng)法則求出來(lái)．

　�。粒玻海ǎ保┮�?yàn)椋悖迹�＜ｄ，所以ｃ＜２x＜ｄ，即ｌｏｇ２c＜ｘ＜ｌｏｇ２d，所以函數(shù)Ｆ（２x）的定義域是（ｌｏｇ２c，ｌｏｇ２d）．

　�。�2）令ｘb＝ａn，則ｌｏｇａx＝ｎ/ｂ，

　　則Ｆ（ａn）＝ｎ/ｂ．

　�。裕海疲ǎ�）與Ｆ（２x）中的ｘ含義相同嗎?

　�。粒玻弘m然都是ｘ，但它們的取值不同，在Ｆ（ｘ）中ｘ在（ｃ，ｄ）取值，而Ｆ（２x）中的ｘ取值應(yīng)保證２x∈（ｃ，ｄ），所以兩個(gè)ｘ含義不同．

　�。拢保海�1）Ｆ（ｘ）的定義域是（ｃ，ｄ），即ｘ的取值范圍為（ｃ，ｄ），Ｆ（２x）中ｘ的取值范圍也為（ｃ，ｄ），所以Ｆ（２x）的定義域?yàn)椋ǎ�，ｄ）�?/p>

　�。�2）Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx，所以Ｆ＝（ｌｏｇａx）/ｘb，Ｆ（ａn）＝ｎ/ａnb．

　�。拢玻阂�?yàn)椋疲ǎ鴅）＝ｌｏｇａx，所以Ｆ（ａnb）＝ｌｏｇａａn＝ｎ．

　　分析：（1）學(xué)力水平高的學(xué)生在理解Ｆ（ｘ）與Ｆ（２x）時(shí)是在理解Ｆ（ｘ）本質(zhì)意義（它只是一個(gè)加工的手段和模具）的前提下，把Ｆ（ｘ）作為一個(gè)結(jié)構(gòu)性概念來(lái)理解，因而能把Ｆ（ｘ）與Ｆ（２x）從結(jié)構(gòu)上看作對(duì)應(yīng)法則是相同的，從而得出ｃ＜２x＜ｄ，而在做第（2）題時(shí)，能夠從不同的表達(dá)式子中，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在相同的對(duì)應(yīng)規(guī)則，比如?Ａ２認(rèn)為Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx和Ｆ（ａn）具有相同的規(guī)則，因此要求Ｆ（ａn），必須把相關(guān)的對(duì)應(yīng)法則求出來(lái)．

　�。�2）學(xué)力水平弱的學(xué)生看到符號(hào)，只能理解符號(hào)的表層的形式的意義，而體會(huì)不到其中的內(nèi)在含義，比如Ｂ１認(rèn)為Ｆ（ｘ）與Ｆ（２x）中的ｘ是相同的，因而取值范圍也應(yīng)相同，不能從深層理解到Ｆ（ｘ）與Ｆ（２x）的對(duì)應(yīng)法則相同，只是自變量不同而已，這也從一個(gè)側(cè)面反映出這一部分學(xué)生只是把符號(hào)Ｆ作為一個(gè)具體的運(yùn)算符號(hào)，而體會(huì)不到函數(shù)中Ｆ的真正作用，比如學(xué)生Ｂ１由Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx，得出Ｆ＝（ｌｏｇａx）/ｘb，同時(shí)這一部分的學(xué)生在后來(lái)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，一方面由于對(duì)自己學(xué)習(xí)過(guò)程缺乏概括和總結(jié)的習(xí)慣和方法，另一方面可能缺乏對(duì)自己的思考過(guò)程進(jìn)行反思，因而無(wú)法借助自己已有的經(jīng)驗(yàn)理解形式化的符號(hào)運(yùn)算所包含的意義，從而無(wú)法實(shí)現(xiàn)符號(hào)由方法性到結(jié)構(gòu)性的過(guò)渡，因而在解決抽象的符號(hào)問題時(shí)遇到的困難是在所難免的．

　　二、數(shù)學(xué)符號(hào)教學(xué)的措施

　　1.在學(xué)生感知數(shù)學(xué)符號(hào)的過(guò)程中注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)符號(hào)進(jìn)行主動(dòng)加工的意識(shí)和習(xí)慣

　　在調(diào)查中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生理解符號(hào)的困難，一方面在于沒有掌握對(duì)符號(hào)進(jìn)行加工的方法，而另一方面則在于沒有對(duì)符號(hào)進(jìn)行加工的習(xí)慣和意識(shí)．因此，在教學(xué)中，要處處注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)符號(hào)進(jìn)行加工（即對(duì)符號(hào)所表達(dá)的內(nèi)涵進(jìn)行縱橫聯(lián)系，以激發(fā)學(xué)生頭腦中與此符號(hào)有關(guān)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)），以養(yǎng)成他們遇到符號(hào)多思考的習(xí)慣．比如，在遇到新的符號(hào)時(shí)要啟發(fā)學(xué)生：這個(gè)符號(hào)與我們前面學(xué)過(guò)的哪些知識(shí)有聯(lián)系和區(qū)別，有什么樣的聯(lián)系和區(qū)別等等，所有這些問題都可以有效幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號(hào)的意義．同時(shí)既要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相同數(shù)學(xué)內(nèi)容善于用不同數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表示，又要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化（這種做法對(duì)于立體幾何中數(shù)學(xué)符號(hào)的理解特別有效），以幫助學(xué)生理解不同符號(hào)內(nèi)在的邏輯聯(lián)系和符號(hào)自身的數(shù)學(xué)意義．比如在上述調(diào)查學(xué)生對(duì)直線在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面內(nèi)的數(shù)學(xué)符號(hào)表示中，當(dāng)筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)這兩個(gè)符號(hào)的錯(cuò)誤理解時(shí)，就對(duì)學(xué)生進(jìn)行了如下的啟發(fā)和引導(dǎo)：

　�。裕涸诖鷶�(shù)中，集合與集合之間以及元素與集合之間用什么符號(hào)表示?

　　Ｂ：集合與集合之間用?表示，元素與集合之間用∈表示．

　�。裕涸趲缀沃�，我們把點(diǎn)看成元素，而把直線和平面看成集合，那么直線在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面內(nèi)用符號(hào)怎樣表示?

　　此時(shí)那幾個(gè)學(xué)生都正確地寫出了相應(yīng)的符號(hào)．如果教師在教學(xué)中時(shí)刻注意引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生對(duì)符號(hào)進(jìn)行加工和聯(lián)系，長(zhǎng)此以往學(xué)生潛在的加工意識(shí)便被喚醒，在遇到數(shù)學(xué)符號(hào)和知識(shí)時(shí)就會(huì)自覺地對(duì)符號(hào)進(jìn)行縱橫聯(lián)系，這種對(duì)知識(shí)進(jìn)行再加工的意識(shí)和習(xí)慣一旦形成，也會(huì)遷移到其他的學(xué)習(xí)當(dāng)中，對(duì)其他知識(shí)的學(xué)習(xí)也會(huì)有很大的幫助．

　　2.加強(qiáng)師生之間的交流促進(jìn)學(xué)生對(duì)符號(hào)意義的理解和概括

　　在與學(xué)生的交談中我們了解到，學(xué)生在理解、記憶數(shù)學(xué)符號(hào)方面的障礙，絕大多數(shù)發(fā)生在數(shù)學(xué)符號(hào)理解和建構(gòu)的初期，由于學(xué)生沒有及時(shí)覺察這種不適當(dāng)或錯(cuò)誤的建構(gòu)，因而就沒能采取及時(shí)的補(bǔ)救措施．那么如何在學(xué)生理解符號(hào)的初期，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生理解的障礙和錯(cuò)誤，我們不妨借鑒維果斯基的社會(huì)建構(gòu)的思想：使學(xué)生獲得的知識(shí)經(jīng)受由學(xué)生和老師所組成的這個(gè)小的社會(huì)共同體的檢驗(yàn)，并為使其符合與社會(huì)的要求打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．因此，在課堂教學(xué)中通過(guò)學(xué)生與學(xué)生的交流，使其能學(xué)習(xí)他人之長(zhǎng)，通過(guò)教師對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的理解過(guò)程的展示，使學(xué)生從中得到啟發(fā)，以引起個(gè)體對(duì)符號(hào)的理解進(jìn)行對(duì)比和反思，通過(guò)學(xué)生與教師的交流，教師可以及時(shí)得到學(xué)生對(duì)符號(hào)理解的反饋，從中了解學(xué)生對(duì)符號(hào)的理解情況，以便使學(xué)生對(duì)自身不合理的建構(gòu)進(jìn)行調(diào)整和補(bǔ)救．

　　3.提供加工和反思的具體的、可以操作的方法

　　在提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行加工意識(shí)的同時(shí)，要使學(xué)生掌握對(duì)符號(hào)進(jìn)行再加工的具體方法和措施．比如可以為學(xué)生提高反思的清單：這個(gè)符號(hào)的含義是什么?能用自己的話重新說(shuō)一遍嗎?這個(gè)符號(hào)和前面學(xué)過(guò)的符號(hào)之間有聯(lián)系嗎?如果有聯(lián)系，聯(lián)系是什么?我能說(shuō)出來(lái)嗎?這個(gè)符號(hào)我為什么理解錯(cuò)了，錯(cuò)誤的原因我能找到嗎?這些具體的運(yùn)算中蘊(yùn)涵有什么規(guī)律嗎?規(guī)律是什么?這個(gè)規(guī)律可以用來(lái)解決那些問題?等等．

　　總之，我們?cè)趯?duì)教材進(jìn)行處理和設(shè)計(jì)教學(xué)情景時(shí)，必須首先了解學(xué)生對(duì)概念、符號(hào)、定理的理解情況，掌握學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)生困難的地方和根源，這樣我們才可以針對(duì)每一個(gè)學(xué)生的認(rèn)知情況，進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)．

摘自于：《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》