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案例分析：橢圓定義推導
案例分析：橢圓定義推導
教學中，許多老師往往比較重視將教科書上的知識教給學生，忽視讓學生領(lǐng)略知識的發(fā)生發(fā)展過程，忽視情意教學目標，忽視學生主體地位，學生的學習過程大多停留在理解，記憶，復述，重現(xiàn)知識的階段，而奢談學生思維能力的培養(yǎng)，
心理素質(zhì)的發(fā)展，個性品質(zhì)的健全。
心理學理論認為：知識的獲得是一種學生主動的認知活動，學習者不應該是信息的被動接受者，而應該是知識獲取過程的參與者。
人本主義教育觀認為：成長的可能性是學生與生俱有的，而教育最重要，最根本的目的即在于將這種可能性轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實，培養(yǎng)學生成為“完整的人”。
在解析幾何中，圓錐曲線是這塊內(nèi)容中的重點、難點和考點。根據(jù)教材的安排，雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì)的給出都是類比于橢圓的定義、性質(zhì)。因此，橢圓的定義、標準方程、性質(zhì)的教學是這一內(nèi)容的重中之重，而標準方程又是根據(jù)橢圓的定義得出，所以橢圓的定義推出顯得至關(guān)重要�，F(xiàn)把這一教學片段展示如下：
教師：在生活中，哪些事物是呈橢圓形的。
學生1：雞蛋，橄欖球……
還有個別學生2：沒有畫圓的圓。
教師微笑：大家說的都很對，橢圓是一個很美的圖形，我想大家看了下面的幾個場景就有此感覺了。（演示課件：花卉的瓣，倒影在水面上的拱橋，美國白宮，地球運動軌跡等）
（黑板上書寫課題：橢圓定義及其標準方程）
教師：橢圓的形狀很美，它在生活中應用很廣泛，從上面我們可以看到它用在建筑、天文學上，因此我們很有必要對橢圓進行研究。我們看到橢圓的形狀是一個壓扁了的圓，那我們一起回憶圓的定義。
學生3：平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡。
教師：我們是怎樣畫圓的呢？同學們畫畫看。
（課前教師要求學生每人準備一塊硬紙板，并發(fā)給每一位學生兩顆圖釘幾顆及一根定長細繩子）
學生：（動手畫圓）
教師：“圓是動點P到定點O的距離為常數(shù)的點的軌跡”說成“圓是動點P到定點O的來回距離之和為常數(shù)的點的軌跡�！毙胁恍�。
學生齊聲地：行
教師：現(xiàn)在把這根繩子的兩端分別系在兩顆圖釘上，并分開固定在兩個點F1、F2上，并保持拉緊狀態(tài)移動鉛筆，請你們再畫一畫會是什么樣的曲線？
學生：（動手畫橢圓）
教師：（現(xiàn)場用幾何畫板制作課件：作橢圓）
教師：剛才大家對橢圓有了形象上的認識，我們不僅作出了橢圓這個曲線，而且還在生活中找到了它的應用，下面我們能否根據(jù)上面圓的定義給出橢圓的定義？
學生4：橢圓是平面上到兩個定點的距離之和為常數(shù)的點的軌跡。
（教師在黑板上寫出學生總結(jié)的橢圓定義）
教師：很好，善于類比。
（教師拿起兩個學生所畫的橢圓展示）
同學們畫橢圓時，線段長是事先給你們的，并且是一樣長，為什么我們所畫的橢圓不一樣，有扁有圓呢？
學生5：這于兩定點F1、F2的位置有關(guān)。
教師：很好
我們改變一下F1、F2的位置，大家再畫一畫，看一看到底有何關(guān)系？
學生6：F1、F2位置越近橢圓越圓，F(xiàn)1、F2越遠橢圓越扁。
教師：這位同學觀察的很仔細，總結(jié)的非常好。
如果我們不改變F1、F2的位置，只改變線段長，大家畫一畫它們又有什么聯(lián)系？
學生7：定線段越小橢圓越扁，定線段越長橢圓越圓。
教師：答的非常好。
設(shè)|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a,如何通過a、c刻畫橢圓扁圓程度。
（課堂上頓時安靜，學生陷入思考、討論）
學生8頓悟：當
教師：還有不同的意見嗎？他的結(jié)論對嗎？
（教室中又陷入討論、不敢肯定）
教師：實踐是檢驗真理的唯一標準，我們可以去畫一畫。
（學生檢驗后，發(fā)現(xiàn)是正確）
學生齊到：正確
教師：以上我們討論了橢圓的定義，知道了橢圓與兩定點位置以及定線段長有關(guān)。給定了線段長，兩定點位置就真的一定能作出橢圓嗎？大家討論以下，這里有沒有條件限制。
學生：（動手實驗，討論，總結(jié)）
教師：（演示課件：展示2a>2c,2a=2c,2a<2c,三種不同情況的軌跡）
根據(jù)我們動手實驗、課件展示，以及討論，大家進一步總結(jié)定義。
學生9：（1）當2a>2c時，軌跡是橢圓。
（2）當2a=2c時，軌跡是一條線段，是以F1、F2為端點的線段。
（3）當2a<2c時，無軌跡。
（4）當c=0時，軌跡為圓。
教師：下面同學們再看看橢圓的定義，有無補充。
學生10：橢圓是平面上到兩定點F1、F2的距離之和2a為常數(shù)的動點的軌跡，其中2a>|F1F2|>0.
教師：（黑板上用彩色粉筆寫上：其中2a>|F1F2|>0）
…………………………………
設(shè)計意圖：
（1）采用感性導入法 用課件展示圖片的，由點及面，由感性到理性，符合學生認識的思維路線，易激起興趣和學習動機。
（2）創(chuàng)設(shè)問題情境 在學生的“最近發(fā)展區(qū)”中設(shè)計問題，所設(shè)計的問題面向全體，使學生的思維一直處于亢奮狀態(tài)，使每一位學生都積極參與思維活動，體現(xiàn)以學生為主體的新理念。
（3）培養(yǎng)動手能力 培養(yǎng)動手實踐能力是現(xiàn)行教育中的一個弱點，在新課標中特別指出研究性學習的重要性，而培養(yǎng)動手實踐能力是研究性學習中的所要培養(yǎng)的能力之一。通過畫橢圓檢驗，線段定長、兩定點時橢圓的圓扁程度。
（4）培養(yǎng)探索能力 教育家布魯納說過：“探索是數(shù)學教學的生命線�！碧剿魇莿�(chuàng)造的起步，學生的創(chuàng)造力不可能一蹴而就，只有引導他們學會探索，才能使學生的創(chuàng)造力得到有效的培養(yǎng)。
對此堂課進行了反思，我認為本案例成功之處在于：
（1）將傳統(tǒng)教學媒體與現(xiàn)代教學媒體有機結(jié)合在一起，促進了學生學習的積極性和主動性，即將工具畫圖和課件展示有機結(jié)合。
（2）用多媒體的形象性和生動性解決難點。
課堂教學中若能恰當?shù)剡\用多媒體，就能化抽象為具體，化無聲為有聲，有利于對教材內(nèi)容的理解、深化，落實知識點。實踐證明，運用CAI手段，使學生從數(shù)學抽象描述中產(chǎn)生立體感知形象，喚起他們的想象思維，加深對知識的理解，同時有利于觀察力、想象力、思維力的培養(yǎng)。在給橢圓定義補充時，就是用課件展示2a>2c,2a=2c,2a<2c,三種不同情況的軌跡，通過課件展示形象性和生動性解決了定義的補充。
（3）體現(xiàn)課堂中學生的主體地位及教師的主導地位。
數(shù)學理論和數(shù)學實踐告訴我們，學生是學習的主體，教師的“教”是為學生的“學”服務的，因此，在數(shù)學教學中，充分體現(xiàn)學生的主體地位，調(diào)動學生的學習主動性和積極性，把學習中的學習潛力挖掘、開發(fā)出來，是提高教學效率和教學質(zhì)量的關(guān)鍵。在此片段中，教師主要是引導、啟發(fā)學生解決問題，而學生的思維一直處于亢奮狀態(tài)。
（4）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學習數(shù)學的興趣是教學動力。
興趣是推動學生學習的內(nèi)在動力，也是發(fā)展思維的催化劑。興趣總是在一定的情境中產(chǎn)生的，要使學生在課堂上處于最佳的心理狀態(tài)，教師必須想方設(shè)法激發(fā)學生的情緒領(lǐng)域，喚起學生心靈的共鳴，讓學生因情感的驅(qū)動而產(chǎn)生學習的興趣。著名數(shù)學家華羅庚說：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數(shù)學。在案例中，引用了生活中的雞蛋、橄欖球、花瓣等實物的形狀，還補充
白宮、地球的運動軌跡等。
（5） 創(chuàng)造人人參與，人人有體驗，人人成功的氛圍。
學生是課堂的主人，有活動實踐的天性和創(chuàng)造成功的欲望，最大限度地發(fā)揮學生的潛能是課堂教學的靈魂。教師要重視學生的參與性和實踐性，讓學生全員參與，全程參與，通過自身的實踐活動，建構(gòu)屬于自已的知識系統(tǒng)。在本課中，教師是以寬容，友愛，平等的心態(tài)對待每個學生，使他們身心舒展，樂于思考，勤于發(fā)表自已的見解；其次教師給學生提供參與的機會，凡是學生能操作的，能頷悟到的，教師絕不包辦代替；不刻意要求學生與教師思維一致，不刻意要求個別學生給出的答案對全班具有代表性，重視學生為解決問題而產(chǎn)生的一切想法和進行的一切嘗試。
（5）積極的反饋與評價是教學的促進劑。
教師的期待和評價對學生有著重要作用。教師要允許學生對已有信息（材料）提出自已的想法，用自已喜歡的方式去分析問題，得出結(jié)論，驗證結(jié)論，解決問題。在這個過程中，要給學生以充分表達自已的思想，表明自已的態(tài)度，表露自已的觀點，表示自已的愿望和表現(xiàn)自已情感的自由。教師的鼓勵與反饋“有利于創(chuàng)造活動的一般條件------心理的安全和心理的自由”。學生在心理安全的環(huán)境中，才能大膽猜想，質(zhì)疑問難，發(fā)表不同意見。本課中教師的表揚語，對學生的積極猜想的肯定，學生對其他同學的表現(xiàn)抱以熱烈的掌聲，贊同的目光都是教學過程有利的促進劑。
總之，課堂教學是實施素質(zhì)教育的主渠道，教師要重視學生知識系統(tǒng)的建構(gòu)，重視學生獲得知識的過程，關(guān)注學生靈活運用知識解決實際問題的能力，重視學生思考方式的學習，重視學生的個性品質(zhì)健全，心理素質(zhì)的發(fā)展，使學生獲得全面的進步與發(fā)展。
參考文獻
1、顧泠沅，《教學任務與案例分析》，載于上城教育信息港
2、顧泠沅，《追求卓越 ——教師專業(yè)發(fā)展案例研究》，人民教育出版社出版
3、羅增儒，《中學數(shù)學課例分析》，陜西師范大學出版社
4、任志鴻主編，《高中新教材數(shù)學優(yōu)秀教案》，南方出版社
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