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淺談化歸思想方法及其在中學數(shù)學的應(yīng)用
淺談化歸思想方法及其在中學數(shù)學的應(yīng)用
摘要：在現(xiàn)代的數(shù)學教育中，數(shù)學思想方法的教學已是數(shù)學教學的主要任務(wù)，中學數(shù)學教材中蘊涵著許多重要的數(shù)學思想方法，其中化歸思想方法是最基本也是最重要的數(shù)學方法之一，化歸思想是解決數(shù)學問題的指導(dǎo)思想和一種基本策略。所以化歸思想的教學是數(shù)學教學的重要內(nèi)容。那么什么是化歸思想方法呢？運用化歸思想方法要遵循那些問題？它的主要化歸方法有哪些？以及其在中學數(shù)學中有那些運用呢？
關(guān)鍵詞：化歸思想方法 規(guī)范問題 基本原則 映射反演法 數(shù)形結(jié)合
Abstract :In the modern mathematics education, mathematics thinking method teaching already was the mathematics teaching primary mission, in the middle school mathematics teaching material is containing many important mathematics thinking method, in which reduction thinking method is most basic also is one of most important mathematics methods, the reduction thought was solves mathematics question guiding ideology and one kind of basic strategy.Therefore the reduction thought teaching is the mathematics teaching important content.Then what is the reduction thinking method? Must follow these questions using the reduction thinking method? Which does its main reduction method have? As well as it has these utilization in the middle school mathematics?
Key word :Reduction thinking method Standard question Basic principle Mapping method of inversion The number shape unifies
當今社會不斷地在進步，社會的進步與發(fā)展是依賴科技的發(fā)達與經(jīng)濟的提高，而現(xiàn)代科技與經(jīng)濟發(fā)展成熟的標志是數(shù)學化，這是指在科技與經(jīng)濟中需要某些具體的數(shù)學知識，但更依賴數(shù)學思想與數(shù)學方法的運用，所以在數(shù)學教學中，加強數(shù)學思想方法的教學已成為數(shù)學教學的重要內(nèi)容。
近幾年隨著素質(zhì)教育的不斷深入，就開始認識到數(shù)學教育應(yīng)從偏向重視知識教學向重視數(shù)學思想方法教學和能力培養(yǎng)轉(zhuǎn)變。要實行數(shù)學教育的現(xiàn)代化，那就要進行數(shù)學的現(xiàn)代教學，把經(jīng)過千百年錘煉的數(shù)學精華的教育建立的數(shù)學的思想教育基礎(chǔ)之上，并使用現(xiàn)代數(shù)學方法和語言。加強數(shù)學教育是當今數(shù)學教育現(xiàn)代化的關(guān)鍵。
數(shù)學思想方法有很多，其中化歸思想是最基本的數(shù)學思想，并且化歸思想是數(shù)學思想的兩大“主梁”之一 。要加強對化歸思想的教學也是加強數(shù)學思想方法教學的重要內(nèi)容。
笛卡兒認為，任何問題都可以化歸為數(shù)學問題，這里的“化”就是“化歸”，善于使用化歸是數(shù)學思維方式中的一個重要特點，而化歸方法是數(shù)學方法中常用的一種方法。
化歸思想是非常重要的數(shù)學思想方法，是解決一些數(shù)學問題的重要方法，對于一些數(shù)學問題，我們不能直接對問題展開攻擊，而是對問題進行變法、轉(zhuǎn)化，直至把它化歸一些已解決問題，或容易解決的問題。
匈牙利著名的數(shù)學家P•羅莎的名著《無窮的記憶》中曾用以下的比喻十分生動地說明了化歸思想的實質(zhì)。她寫道：“假設(shè)在你面前煤氣灶，水龍頭，水壺和火柴，現(xiàn)在的任務(wù)是燒水，你應(yīng)該怎樣做？”正確的回答是“在水壺中放上水，再點燃煤氣，再把水放到煤氣灶上�！苯又_莎又提出第二個問題：“假設(shè)所有的條件都不變，只是水壺已有了水，這時你應(yīng)該怎么做？”對此，人們往往回答說：“點燃煤氣，在把水放到煤氣灶上�！钡_莎卻認為這不是最好的回答，因為“只有物理學家才會這樣做，而數(shù)學家會倒掉壺中的水，并且聲稱我已把后一問題化歸到先前的問題了，而先前的問題我已回答�！� �！鞍阉沟簟薄@是多么簡潔的回答呀！比喻有點夸張，但它的確形象地說出了這種問題解決的方法就是化歸方法。
所謂的“化歸”，從字面上看可以理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思，數(shù)學方法論所論及“化歸”方法，是指數(shù)學家們把待解決或未解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已解決或者比較容易解決的問題中去，最終求得原問題解答的一種手段和方法 。
以上的解釋我們可以初步理解為，化歸方法就是要通過某種手段將一個問題轉(zhuǎn)化到另一問題，但要使轉(zhuǎn)化后問題更容易解決。下面就舉一個例子來理解一下化歸思想方法：
2 解不等式log
分析：當我初看此題時，我們不知道怎么著手解決，思考一下想這類不等式的問題，我們能不能轉(zhuǎn)化為一般不等式的方法呢？通過分析將解這個不等式轉(zhuǎn)化到解以下一般形式的不等式：
（1）
（2）
解（1），（2）可得不等式的解為（-1，0） （3，+ ）。
通過以上例1的解決，我們熟悉了一下化歸方法，可以得出化歸思想方法的一般思維過程如圖1所示：
新問題 問題
解答 解答問題
這也是說理想的化歸方法。是通過數(shù)學內(nèi)部聯(lián)系和矛盾運動，在推移轉(zhuǎn)化中實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，也就是把有待解決的問題轉(zhuǎn)化為規(guī)范問題，從而使問題得到解決 。化歸的方法有多種多樣，但是它要將新的問題變得簡單，熟悉，容易。這樣才有利與新的問題更好得到地解決。盲目隨心所欲的化歸，可能使新的問題更復(fù)雜，更難以解決�；瘹w的目的就是要實現(xiàn)問題的規(guī)范化。所以使用化歸方法的時候也要遵循一定的原則，使問題規(guī)范化。下面就結(jié)合具體的例子來談一下使用化歸方法遵循的原則。
1．在解決數(shù)學問題時，經(jīng)常會遇到一些我們無從下手的題目，我們可以通過化歸將有待解決的問題轉(zhuǎn)化到比較有利與我們運用的熟悉的知識和問題來解決。
例2．求函數(shù) 的值域？
分析：此題若按一般思維，根本無從下手，因為有兩個根式，現(xiàn)在我們化簡一下根式可得： y
看這個式子我們很熟悉的感到這是 0 P（x,0）x
兩點間的距離公式，于是：
我們設(shè)P（x，0），A（-2，-1），B（2，2）
又因為三角形的兩邊之和大于第三邊，則
即
。
所以函數(shù)y的值域為（5， ）。
2．用化歸方法時盡量的把比較復(fù)雜的問題化歸到簡單及容易確定解題方向的問題，通過對簡單問題的解答來實現(xiàn)對復(fù)雜的問題的解決。
例3，已知函數(shù) ，求：函數(shù) 最大值及取得最大值的自變量x的集合？
分析：此題的三角函數(shù)是2次的形式，是一個復(fù)雜的三角函數(shù)的方程，將這些2次三角函數(shù)化簡，即有：
在通過對 的確定即有：
當 時有：
取得最大值 。
3在我們解題時常常會遇到一些比較抽象的問題，那我們可以將這些問題化歸更加具體直觀，使其具體化。將抽象的問題化歸得具體，常用數(shù)形結(jié)合的化歸方法。例如：
例4．求函數(shù) ，在[1，4]上的最值？
分析：此題在給的區(qū)間上的最值比較模糊，不能確定，那我們有數(shù)形化歸的思想來確定一下在給定區(qū)間上的單調(diào)性。那么有：
如圖，可知f(x)在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞增
即
所以要求的最大值38和最小值11
4．數(shù)學在某種意義上也可以看做是一門藝術(shù)，也有數(shù)學美，我們用數(shù)學方法也講究數(shù)學美，而和諧化是數(shù)學內(nèi)在美的內(nèi)容之一，所以有些問題我們通過化歸使其更加和諧統(tǒng)一，配合恰當和勻稱。
例5． 、 、 、 是互不相等的數(shù)，求證：
分析：通過觀察，發(fā)現(xiàn)此題有一定的內(nèi)在聯(lián)系，即不等式的左邊每個字母都用了3次，但是左右還是不配合不恰當，看不出什么有用的關(guān)系。于是我們變形一下不等式，即有：
令
即原不等式化為：
這是比較和諧勻稱，于是我們即證
（ ） 16
有因為 、 、 、 是互不相等的數(shù)。
所以
（ ） ，
即有
（ ） 16
命題得證。
以上這些是使用化歸思想方法所要遵循的幾點原則。我們在中學數(shù)學教學中要遵循化歸思想方法的基本原則有效的進行化歸思想方法的教學。
在中學數(shù)學中，經(jīng)常出現(xiàn)的化歸方法有生熟轉(zhuǎn)化，映射轉(zhuǎn)化，數(shù)形轉(zhuǎn)化，構(gòu)造轉(zhuǎn)化及特殊法化歸。它的形式也是多中多樣的主要有縱向化歸，橫向化歸，同向化歸及逆向化歸。這些化歸方法和形式，始終離不開化歸思想的三要素，那就是化歸的對象，化歸的目標和化歸的過程。（引用張雄）。化歸的實質(zhì)是不斷的變更問題，有時變更問題的條件，有時是變更問題的結(jié)論，有時是將整個問題進行變更，變更為一個與原命題等價的問題。要正確的運用化歸思想就要分清化歸的對象，目標，來考慮化歸過程中要使用的化歸方法形式。下面就結(jié)合中學數(shù)學題目中用到化歸思想來討論一下中學數(shù)學中的化歸方法及教學。
1．隨著現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展和新課程改革深入，化歸思想方法做為一般方法原則在現(xiàn)代數(shù)學形式下主要表現(xiàn)為關(guān)系（relationship）映射(mapping)反演(inversion)方法，簡稱RMI法 。這一方法是有我國數(shù)學家徐利治教授提出來的。（問題） （問題 ） （結(jié)果 ） （結(jié)果）。在求復(fù)雜問題時可能要借助多步的RMI程序。在中學數(shù)學中適當?shù)臐B透RMI方法的思想，有助培養(yǎng)學生思維的靈活性，獨創(chuàng)性和敏感性，提高學生的現(xiàn)代數(shù)學意識。
例6．過點P（2，2）并和橢圓 相切的直線方程？
分析：運用RMI法，對橢圓進行伸縮變換，將橢圓換成圓的問題。
令 ， ，則
P（2，2） 即：
即
即
另一切線不存在，即
因此要求的切線方程為 。
2．化歸思想不只在函數(shù)中用的是反演映射法，在函數(shù)中常用的還有數(shù)形化歸，以及函數(shù)的恒等變形化歸。其中例1就是典型的數(shù)形結(jié)合的化歸思想，下面在看一個函數(shù)的恒等變形化歸的例子：
例7．若
分析：此題若以x值代入來求函數(shù)y的值太繁瑣了，若利用恒等變形化歸，即可化繁為簡。
即
又因為
函數(shù)
=
所以要求的函數(shù)值y為5。
以上就是恒等變形的化歸。通過對數(shù)行化歸和恒等變形化歸的教學，可以培養(yǎng)學生們的數(shù)學思維能力，使學生靈活的運用有關(guān)知識更好的將數(shù)與形地結(jié)合，也讓他們感覺到數(shù)學的內(nèi)在聯(lián)系及數(shù)學內(nèi)在美，也使學生更加熟練的運用相關(guān)的定理推論。
3．在中學里學過平面幾何和立體幾何，我們經(jīng)常將平面幾何學習問題化歸到平行線與相交線的討論，將立體幾何的空間形式轉(zhuǎn)化到平面形式，通過對這些幾何問題的化歸思想方法的學習與運用，可以培養(yǎng)學生的分剖化歸能力，更好地提高學生想象能力及空間思維能力。常用方法如下：
例8．如果用鐵絲為成底面為正方形面積為25平方厘米，高為2厘米的長方體，共需要多少鐵絲？
分析：這是一個簡單而且實際的立體幾何的問題，發(fā)揮一下想象能力，會發(fā)現(xiàn)解這題的一些簡單的方法。
方法一：經(jīng)思考，可以將這個長方體歸結(jié)為它是由上下兩個正方形面加四個高組成的，于是就的到：
需要的長度= （cm）
方法二：我們可以將這個長方體展開為一個平面的形式，
把它化歸到平面幾何的問題，如圖3 （圖3）
其中虛線為公共的邊不計算，那么計算下實線的長度為48厘米。
所以共需要48厘米。
例9．等腰 ABC的底邊是BC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點E，求證：CD=2CE
分析：需在CD上分解CD，取CD的一半，則取
CD中點F，CF= CD，在證CF=CE
結(jié)合圖4，只需證
證明：取CD中點F，連結(jié)BF，則
BF=
且
又 ，得
因此
即命題得證。
4．化歸思想了在以上的應(yīng)用外，在中學的數(shù)列中也會常用到這種思想。例如數(shù)學歸納法也用到化歸的思想，其中A 為真命題，假設(shè)A 為真，則原命題為真。其中證 為真時，就把它化歸到命題A 中去。這樣的證明就像羅沙說的燒開水這個形象的比喻那樣，把水倒掉就回到了前一步，而前一步已經(jīng)假設(shè)成立，那命題就得證了。
例10．若數(shù)列{ }滿足 ，證明： 是等差數(shù)列？
證明：由題意得：
4
即
①
②
由②- ①得：
③
此時我們就發(fā)現(xiàn) 又一定的關(guān)系，那么可以用數(shù)學歸納法，設(shè) 為真，將 化歸到用 表示，于是我們有：
令 ，
設(shè) ，此時即證
（1），當n=1，2時成立
（2），假設(shè)n=k（k ）時也成立，即有： ，那么由③中 的關(guān)系，可以將證 的成立化歸到 成立中去。
當n=k+1時
有
所以
=
此時，當n=k+1時，成立。
即 成立，所以 ，
因此 是等差數(shù)列。
通過對化歸思想方法在中學數(shù)學應(yīng)用的探討，更明白地可以看出，化歸思想方法是一種間接解決問題的方法，化歸的實質(zhì)是通過仔細的觀察分析，將比較難于解決的問題遵循簡單化、熟悉化、具體化和諧化的原則通過變形、分割、映射將其進行轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到一類已解決或容易解決的問題中去。
化歸思想方法在中學數(shù)學中應(yīng)用的例子舉不勝數(shù)，隨處可見，關(guān)鍵是老師在其中充當引導(dǎo)的角色，要知道“授之以魚，不如授之漁”，要教會學生做一題很容易，但更重要的是要教會他們運用科學的思維方式和思考方法，通過對化歸思想的學習和運用，可以讓學生理解基本概念，提高運算能力和解題能力，也可以培養(yǎng)學生想象能力，可以提高學生的現(xiàn)代數(shù)學意識。
轉(zhuǎn)化問題是解決問題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化思想就是化歸的思想，從宏觀上看，化歸的思想是數(shù)學問題解決過程中形成數(shù)學構(gòu)想的方法論依據(jù)；從微觀上看，數(shù)學問題的解決過程就是不斷地發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，直至化歸為一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題的過程�？梢�，化歸方法在數(shù)學問題中具有十分重要的意義！
文獻綜述
[1]黃毅容 《數(shù)學思想—化歸思想的教學探討》成都航空職業(yè)技術(shù)學院學報2003.6
[2]晏傳友 《化歸思想及其教學淺談》 安徽教育科研 2003.8
[3]張雄，李得虎 《數(shù)學方法論與解題研究》 高等教育出版社 2003.9
[4]張奠宙 過伯祥 《數(shù)學方法論稿》 上海教育出版社 200O.2
[5]謝廷楨 《初中效學應(yīng)滲透的效學思想和方法》山東教育(中學版) 1996．
[6]G．波利亞 《數(shù)學與猜想 》 科學出版社 1984
[7]M．克萊因 《古今數(shù)學思想 》 上海科學技術(shù)出版社 1979
[8]沈文選 《中學數(shù)學思想方法》 湖南師范大學出版社 1999
[9]張奠宙 《數(shù)學方法論》 上海教育出版社， 1996
[10]錢佩玲． 《數(shù)學思想方法與中學數(shù)學》 北京師范大學出版社 1999
[11]吳維峰 曹云南 《化歸思想與數(shù)學教學》 濰坊教育學院學報 2000.2
[14]王子興 《數(shù)學方法論—問題解決的理論》中南大學出版社 2002.5
[15]錢李新 《淺談中學數(shù)學中的化歸思想》 中學教研（數(shù)學） 2002.8
[16]曾崢 楊之 《“化歸”芻論》 數(shù)學教育學報 2001．10(4)
[17]徐利治． 《數(shù)學方法選講》 華中理工大學出版社．2000
[18]楊世明 《轉(zhuǎn)化與化歸》 鄭州大象出版社 2OOO
[19]張楚廷 《數(shù)學方法論》 湖南科技出版社 1989
[20]卜昭紅 《中學效學教師應(yīng)辨析效學方法與數(shù)學思想》中小學教師培訓中學 1999.1
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